Выбор способа доказательства тоже в значительной мере зависит от содержания тезиса, однако связь эта неоднозначна: любое положение можно аргументировать различным способом в зависимости от характера оснований или соображений доходчивости, ясности и убедительности.

По способу аргументации все доказательства делятся на два вида - прямые и косвенные. Прямое доказательство заключается в выведении из основания по определенным правилам умозаключения истинности или ложности данного тезиса. При косвенном доказательстве обосновывается ложность антитезиса и отсюда устанавливается истинность тезиса или, наоборот, его ложность.

Рассмотрим оба вида доказательства несколько подробнее.

В прямом доказательстве в цепочке умозаключений последним звеном будет являться доказываемый тезис. Например, доказательства того, что 2004 год будет годом високосным основано на последовательности таких рассуждений:

1) високосным годом называется год, числовое выражение которого делится на 4;

2) (2004/4=501), следовательно, 2004 год будет високосным. Нетрудно увидеть, что вывод был сделан на основании определения (что такое високосный год) и одного истинного утверждения (2004 делится на

4), принятых в качестве основания нашего доказательства.

Бывает, что прямое доказательство по какой-либо причине неосуществимо. В таких случаях прибегают к косвенным доказательствам, именуемым иногда «доказательством от противного» или «апагогическим», то есть «отводящими». Главной особенностью косвенного доказательства является то, что непосредственно доказывается не тезис, а его отрицание - антитезис, причем доказательство устанавливает ложность последнего. Затем на основе закона исключенного третьего необходимо заключают об истинности тезиса. Таким образом, доказываемое утверждение на протяжении почти всего доказательства остается как бы в стороне, как бы привлекаясь только на заключительной стадии.

Общая логическая форма косвенного доказательства выглядит следующим образом. Необходимо доказать утверждение А (тезис); допустим, что имеет место (т.е. истинно) не-А; из не-А получаем в качестве следствия некоторое утверждение В; устанавливается, что В противоречит истинности ранее доказанного утверждения, следовательно, является ложным; от ложности следствия В заключаем к ложности его основания, т.е. к ложности утверждения не-А; на основании закона неисключенного третьего из ложности не-А делаем вывод об истинности утверждения А, что и было целью доказательства.

Легко заметить, что переход от ложности следствия к ложности его основания был совершен в соответствии с отрицательным модусом условно - категорического силлогизма.

Из рассмотренного следует, что косвенное доказательство - это такой вид рассуждений, при котором доказывается ложность отрицания тезиса и на этом основании заключают об истинности тезиса.

В качестве примера косвенного доказательства приведем геометрические теоремы: «Два перпендикуляра к одной и той же стороне не могут пересечься, сколько бы их не продолжали». Доказательство начнем с того, что сначала сформулируем утверждение, что из точки, лежащей вне прямой, можно опустить на эту прямую два перпендикуляра. Но это следствие ложно, т.к. ранее была доказана теорема, что «из точки, лежащей вне прямой, можно опустить на эту прямую только один перпендикуляр». Из ложности следствия, утверждающего о возможности опустить на эту прямую из точки, находящейся вне прямой, два перпендикуляра, мы делаем вывод о ложности его основания, т.е. принятого нами допущения, из которого одно, а именно допущение, является ложным утверждением. На основании закона исключенного третьего мы заключаем об истинности теоремы в ее вышеприведенной формулировке.

В данном примере следствия, вытекающее из антитезиса, пришло в противоречие с ранее доказанному утверждением. Но бывают и другие виды приведения к противоречию при косвенном доказательстве. Например, когда противоречие возникает между двумя следствиями антитезиса или когда из антитезиса выводится следствие, отрицающее антитезис, и др. Такого рода случаи получили наименование «приведение к абсурду»; иногда вообще косвенные доказательства именуют «доказательствами посредством приведения к абсурду (нелепости)» (reduction ad absurdum).

Особое место в научном исследовании занимает генетическое доказательство, или доказательство по источнику происхождения. Оно применяется главным образом в исторических науках, в которых в качестве основания привлекаются документы, свидетельства, мемуары и т.п. При этом устанавливается достоверность этих источников и истинность их содержания. Генетическое доказательство применяется в тех случаях, когда невозможно проверить какое-либо суждение (тезис) по существу и приходится устанавливать его достоверность. В некоторых науках - историографии, метеорологии, геологии, географии - во многих случаях приходится пользоваться только этими источниками, истинность которых можно проверить лишь генетически.

По своей цели генетическое доказательство представляет либо только на основании известных документов, свидетельских показаний. В установление истинности тезиса (его подтверждения), либо обнаружение его ложности (опровержение).

Генетическое подтверждение несет следующее строение. В первой части доказательства устанавливается истинность первоначально возникшего суждения о каком-либо историческом факте (событии). Для этого обращаются к исследованию источника этих суждений, учитывается субъективный подход автора к данным событиям, его осведомленность, добросовестность и т.д. Во второй части доказательства путем тщательной проверки устанавливается, что известные суждения (взгляды) дошли к нам без всяких (по крайней мере существенных) изменений (искажений) при устной передачи, при переписке или при переводе на другой язык и проч. В третьей части доказательства в результате предшествующих исследований выводится заключение об истинности тезиса. Если доказываемый тезис - документ или свидетельство - не выдерживает всех этих проверок, не удовлетворяет указанным условиям, то он подвергается генетическому опровержению.

Опровержение в генетических доказательствах - это установление логичности тезиса - документа или свидетельства, которые подвергаются проверке. Ложность каких-либо суждений, дошедших к нам из прошлых (иногда очень отдаленных) времен, может заключаться или в неверном (искаженном) отображении действительного события, или в изменениях (извращениях) и неточности при устной или письменной передаче этого суждения. В первом случае необходимо установить личность первого высказанного суждения. Во втором случае не только выявляются искажения первоначально истинного суждения, но и ставится задача восстановления первоначального текста, очищение его от последующих извращений.

Элементы генетического доказательства в той или иной мере применяются следственно-розыскной практике, когда следователь поставлен перед необходимостью составить максимально достоверную картинку события по показаниям свидетелей и участников данного события. И показания свидетелей, и тем более участников события могут искажать реальную картину. Ее восстановление потребует от следователя не только знаний логики, но и психологии людей, вовлеченных в данные события.

Опровержение:

Помимо доказательства утверждений путем установления их истинности важное место в научной практике имеют и опровержения утверждений.

Опровергнуть то или иное утверждение означает ни что иное, как обосновать его ложность. Таким образом, во многих случаях опровержение имеет такую же логическую структуру, как и доказательства, о чем свидетельствуют косвенные доказательства, в которых для обоснования истинного тезиса опровергается антитезис. Однако, в косвенных доказательствах, опровержение играет подчиненную роль, выступает как момент, в то время как во многих других случаях оно имеет самостоятельное значение.

Как и доказательства, опровержение имеет тезис, аргументы и форму (демонстрацию). Тезис опровержения - это положение, которое требуется опровергнуть. Аргументы - это утверждения, с помощью которых опровергается тезис (доказывается его логичность). Форма опровержения - это способ логической связи аргументов и тезиса опровержения.

Опровержение тезиса может быть осуществлено двояко. Во-первых тем, что докажут истинность антитезиса; во-вторых, тем, что установят логичность следствий, вытекающих из тезиса.

Опровержение первого рода состоит в следующей последовательности рассуждений. Сначала находят некоторое утверждение, противоречащее тезису, - антитезис, затем доказывают его истинность. Если это удается, на основании закона противоречия при составлении тезиса и антитезиса делаем вывод о возможности первого. Например, утверждение «Все млекопитающие живут на суше» (общеутвердительное) опровергается доказательством истинности частноотрицательного утверждения «Некоторые млекопитающие не живут на суше»:

Опровержение второго рода протекает следующим образом. Допуская истинность тезиса, выводят из него ряд следствий. Если хотя бы одно из полученных следствий находится в противоречии с действительным положением вещей или с уже доказанными утверждениями, то с необходимостью делают вывод о логичности тезиса. В данном случае заключают от логичности следствия к логичности основания.

Некоторые утверждения могут быть опровергнуты посредством опровержения оснований, на которых покоится их истинность или опровержения формы их доказательства - демонстрации. Это виды так называемых косвенных утверждений. Но по своему значению они менее Эффективны, чем прямое опровержение тезиса. Действительно, доказывать логичность оснований не означает, что этим доказана логичность следствия из них. Например, в умозаключении:

Здесь тезис («Марс - планета») является истинным утверждением, но доказательство неверно, т.к. большая посылка («Все планеты имеют спутников») - утверждение ложное. Его можно опровергнуть замечанием, что Венера не имеет спутников.

Опровержение демонстрации доказательства тезиса заключается в том, что показывают отсутствие логической связи между тезисом и его аргументом. Поскольку это может быть, прежде всего, результатом нарушения правил умозаключений, по которым строится доказательство данного тезиса, то для опровержения необходимо указать на общий вид ошибки. Тем самым доказывается, что доказательство было построено неправильно. Тем не менее, это не означает, что мы опровергли сам тезис, который может быть как истинным, так и ложным. Имеется немало примеров того, когда истинное утверждение считалось строго доказанным, хотя со временем в доказательстве находили ошибки.

Опровержения являются важным орудием развития научного познания. С их помощью наука освобождается от ложных утверждений, заблуждений и догм, а также совершенствует свой теоретический аппарат.

4. Условия и правила доказательства

Для того чтобы доказательства проводили к желаемому результату, необходимо соблюдение правил и условий их проведения. Поскольку доказательства, как правило, состоят из целого ряда умозаключений различного вида, постольку в доказательствах необходимо соблюдать правила и условия для каждого вида умозаключений в отдельности. Однако из факта соединения многих умозаключений в сложных доказательствах и опровержениях и, следовательно, наличия многих посылок вытекают дополнительные условия, несоблюдение которых влечет за собой ошибки в доказательствах.

Эти условия и ошибки делятся на несколько групп в зависимости от того, к какой части доказательства они относятся. Вот некоторые из них:

Правила и условия, относящиеся к тезису.

Тезис должен быть точно и ясно сформулирован. Неточно сформулированные тезисы, расплывчатые, неопределенные понятия, неуточненный смысл - все это приводит к путанице и делает невозможным доказательство. Неслучайно поэтому в научной практике, прежде чем приступить к доказательству какого-либо научного положения, проводят исследование по уточнению их смысла и внутренней логической связанности, по анализу понятий, входящих в состав этого положения, и т.д.

Тезис на всем протяжении доказательства или опровержения должен оставаться одним и тем же. Это условие основано на соблюдении закона тождества, игнорирование его приводит к тому, что тезис остается недоказанным, поскольку при доказательстве происходит подмена тезиса (ignoratio elenchi) и доказывается или опровергается не тот тезис, который необходимо доказывать (опровергать).

Часто такая подмена тезиса осуществляется на почве непонимания смысла тезиса, его нечеткой формулировки или как результат неверных преобразований тезиса с целью придать ему удобную для доказательства форму. Последнее имеет место при формализованных доказательствах. Например, вместо тезиса «Угол А равен углу В» пытаются доказать тезис «Неверно, что угол А больше угла В», который неравнозначен тезису, данному доказательству.

Ошибку, порожденную наблюдениям этого условия, выражает следующий принцип: «Кто слишком много доказывает, тот ничего не доказывает». Например, стремясь доказать тезис «Язык не тождествен мышлению», начинают доказывать как равнозначное следующее утверждение: «Язык не связан с мышлением». Последнее утверждение более категорично и к тому же ложное, в то время как действительный тезис - истинное утверждение. Такое доказательство не будет эффективным.

Правила и условия, относящиеся к аргументам.

Аргументы во всяком доказательстве должны быть истинными утверждениями. Очевидно, что истинность тезиса с помощью ложных аргументов обосновать невозможно. Несмотря на свою очевидность, это правило не всегда удается соблюсти ввиду того, что логичность аргумента может быть скрытой и трудно устанавливаемой. Несоблюдение данного правила приводит к ошибкам, имеющим названия: «основное заблуждение» - когда в качестве истинного аргумента фигурирует ложное утверждение; «кто много доказывает, тот ничего не доказывает» - когда из аргумента следует больше, чем требуется для доказательства, в том числе и ложное утверждение.

Истинность аргумента должна быть доказана независимо от тезиса. Нарушение этого правила влечет за собой ошибку «круг в доказательстве». Она появляется в тех случаях, когда тезис обосновывается с помощью утверждений, равнозначных ему или доказанных с его помощью.

Аргументы должны быть достаточным основанием для доказательства тезиса. Нарушение этого правила приводит к тому, что при доказательстве пытаются установить логическую связь между различными по содержанию утверждениями. Утверждение «На улице идет дождь» недостаточно само по себе для обоснования тезиса «У А дурное настроение», хотя реальная связь между этими факторами может иметь место. Разновидностями этой ошибки являются всевозможные апелляции при доказательствах «к публике», «к личности» и т.д.

Правила и условия, относящиеся к демонстрации.

К ним относятся все правила и ошибки, связанные с их нарушением, тех умозаключений, которые использованы при построении доказательств. Например, правила категорического силлогизма, правила условно-разделительного, условного и других силлогизмов.

Паралогизмы, софизмы и парадоксы.

Логические ошибки, допускаемы в доказательстве, как и в рассуждениях вообще непреднамеренно, называются паралогизмы (от греч. paralogismos-неправильное рассуждение), а умышленно не верные рассуждения - софизмами (от греч. sophisma - хитрость, измышление).

Что касается паралогизмов, то их можно избежать путем постоянного повышения логической (и общей) культуры, правильным применением законов логики и ее правил.

Гораздо сложнее проблема софизма. Цель использования этого приема - выдать ложь за истину путем придания логически несостоятельному рассуждению видимости логической правильности. Прием софистики заключается в том, что отождествляются заведомо различные, часто принципиально непохожие друг на друга предметы, понятия, события. Использование софизмов характерно для тех случаев, когда берут верх идеологические или субъективные (личные или групповые) интересы, побуждающие людей изменять строгим правилам логики и следовать правилам научной этики. Люди, прибегающие таким приемам, называются софистами.

Софисты подменяют доказательство способом иллюзорной убедительности в правоте любого положения безотносительно к его объективной истинности, проявляя при этом полную беспринципность, а то и цинизм (истинно то, что мне удобно и выгодно). Гибкость понятий и двусмысленное значение слов софист использует для извращения действительного положения вещей. Утверждения софистов как правило принимаются на веру людьми, не обладающими высокой культурой мышления и падкими на некритическое восприятие сопутствующих эффектов (ораторских приемов, эффективной внешности, искусственно созданных мифов), а так же, в ряде случаев, надежд и ожиданий изменений к лучшему.

Парадоксы (от греч. para - против, doxa - мнение) это рассуждения, в которых в равной мере доказывается истинность какого-либо утверждения и его отрицания. Причиной парадокса является то, что в теориях, содержащих парадоксы, недостаточно уяснены фундаментальные понятия, в том числе логические.

Упоминание о парадоксах можно найти еще в Древнегреческой философии. Современник Сократа Евбулид из Милета, как полагают исследователи, впервые упоминает ставший широко известным парадокс лжеца. Существует несколько вариантов этого парадокса. Наиболее простой из них связан с человеком, который сказал: «Я лгу». Суть его состоит в том, что вопреки известному логическому закону, согласно которому утверждение чего-либо и отрицание того же самого соотносятся друг с другом так, что в одном из них заключается истина, а в другом ложь, делается попытка обосновать возможность одновременно и утверждения и отрицания. Такой парадоксальный вывод получается при ответе на вопрос: «Лжет ли тот, кто говорит, что он лжет?» В этом случае, мы якобы неизбежно приходим к выводу: «Если он лжет, то он говорит правду и наоборот».

В более современной модификации этот парадокс выглядит так. Предположим, что на листе бумаги написано одно единственное предложение Р: «Все написанное на данном листе бумаги является ложным». Затем строят рассуждения, согласно которым нельзя установить ни истинность, ни ложность упомянутого предложения Р. Этот результат получается следующим путем.

Допустим сначала, что предложение Р является истинным, делается вывод, что в этом случае его надо считать ложным, так как в нем утверждается, что все написанное на листе бумаги является ложным, а кроме него самого на бумаге ничего не написано. Если же исходить из того, что предложения Р ложно, то мы якобы должны считать его истинным, потому что, утверждая ложность этого предложения, мы тем самым осуществляем отрицание его, которое можно выразить в предложении: «Ложно, что все написанное на данном листе, ложно.»

В эквивалентной положительной форме последнее утверждение гласит: «Некоторое из написанного на данном листе не является ложным». А так как на данном листе бумаги написано единственное предложение Р, то мы должны считать его не ложным, а неистинным. Такого противоречие, к которому приходят в этом рассуждении, характерной особенностью которого является то, что с самого начала неявно исходят из предпосылки, что содержание предложения Р высказывается о нем самом. Если эту предпосылку отбросить, то парадокс исчезает.

Высказывание в логическом смысле слова всегда является утверждением (отрицанием) относительно предметов, которые от самого данного высказывания. Предикат суждения А непосредственно высказывается не о самом этом суждении, а о тех предметах, которые мыслятся в объеме понятия, выполняющего функцию субъекта в данном суждении, т.е. о предметах, существующих вне этого суждения, независимо от него.

Некоторые авторы приходят к ошибочному заключению о наличии суждений, предикаты которых высказываются непосредственно о них же, т.е. о тех же самых суждениях в результате смешения объективно различных понятий - понятия «предмет, относительно которого высказывается данный предикат непосредственно» с понятием «предмет, относительно которого высказывается данный предикат косвенно». Но допуская данный паралогизм, мы тем самым ошибочно полагаем, что если познано общее в конкретных предметах, то тем самым, якобы, познан каждый и отдельный предмет, в то время как на самом деле при наличии знаний об общем мы можем и не подозревать о существовании того или иного конкретного предмета, стороной которого является общее. На эту сторону наших рассуждений обращал внимание уже Аристотель («Аналитики»).

Для того, чтобы утверждение «Всякое суждение является либо истинным, либо ложным» (А) стало само предметом суждения, мы должны высказать суждение «Утверждение, что «Всякое суждение является либо истинным, либо ложным» является либо истинным, либо ложным» (В), которое нетождественно с суждением (А), потому что последнее является общим суждением, а суждение (В) единичным.

Когда говорят, что предметом суждения (А) является оно само, то аргументируют это мнение тем, что раз предикат этого суждения высказывается о всех суждениях, то естественно отнести его к самому этому суждению. Но такая аргументация несостоятельна. Действительно, указанный предикат естественно отнести к самому этому суждению. Но сделать это можно в результате умозаключения, для которого требуется дополнительная посылка «Высказывание «Всякое суждение является либо истинным, либо ложным» представляет собой суждение», а предметом суждения следует считать только то, что соотноситься с предикатом непосредственно.

Для того, чтобы суждение (А) стало непосредственно предметом, к которому относится предикат суждения (В), оно должно выступить в суждении (В) не как предложение, выражающее суждение, а как наименование последнего, выражающее регистрирующее понятие, которое выполняет функцию субъекта в суждении (В).

Точно так же и к суждению «Все написанное на данном листе бумаги является ложным» может относиться предикат «ложно» только тогда, когда соответствующее ему регистрирующее понятие «Суждение «все написанное на данном листе бумаги является ложным» будет субъектом суждения, в котором предикатом является понятие «ложно». Разумеется, что и предикат «истинно» может быть отнесен к любому суждению только в том случае, если он соединен в суждении с субъектом, представляющим собой понятие, обозначающее суждение, относительно которого высказывается предикат «истинно». А если имеются два суждения, в которых субъектом является одно и то же понятие и предикатом в одном из них является понятие «ложно», а в другом - понятие «истинно», то такие два суждения будут явно несовместимыми, т.е. ничего парадоксального в этом случае не оказывается.

Парадокс «лгун», следовательно, возникает тогда, когда понятие, являющееся субъектом в суждении, смешивается с самим этим суждением: в мысли в данном случае смешивается соответственно словосочетание «Суждение «Все написанное на данном листе бумаги является ложным» «с предложением «Все написанное на данном листе бумаги является ложным».

Страницы: 1, 2