В декаде, по убеждению пифагорейцев, не только содержатся все возможные отношения чисел, но она являет также природу числа как единства предела и беспредельного. Декада - это "предел" числа, ибо, перешагнув этот предел, число вновь возвращается к единице. Но поскольку можно все время выходить за пределы декады, поскольку она не кладет конца счету, то в ней присутствует и беспредельное. В этом отношении декада есть как бы модель всякого числа, числа вообще. Как мы уже отмечали, декада пифагорейцев предстает также как священная четверица, которая, по преданию, была клятвой пифагорейцев.

Таким образом, в астрономии, музыке, геометрии и арифметике пифагорейцы увидели общие числовые пропорции, гармонические соотношения, познание которых, согласно им, и есть познание сущности и устройства мироздания. Из отрывков, которые древние свидетельства приписывают Филолаю, мы видим, что пифагорейцы уже в V в. до н.э. размышляли над вопросом о возможности познания и сформулировали положение, впоследствии ставшее кардинальным для математического естествознания, а именно: точное знание возможно лишь на основе математики. У Платона же мы находим изложение пифагорейского учения о числовых пропорциях геометрических величин, а также систематизацию различных областей математического знания, соединение их в единую систему наук.

     Аристотель сообщает следующее: "...пифагорейцы признают одно - математическое - число, только не с отдельным бытием, но, по их словам, чувственные сущности состоят из этого числа: ибо все небо они устраивают из чисел, только у них это - не числа, состоящие из <отвлеченных> единиц, но единицам они приписывают <пространственную> величину; а как получилась величина у первого единого, это, по-видимому, вызывает затруднение у них".

     Пространственные вещи у пифагорейцев состоят из чисел. А это, в свою очередь, возможно в том случае, если, как и подчеркивает Аристотель, числа имеют некоторую величину, так что могут мыслиться занимающими пространство. И не в том смысле, что то или иное число можно изобразить в качестве геометрической фигуры - как, например, 4 - это площадь квадрата со стороной, равной 2, а именно в том смысле, что само число, как единица, двойка, тройка и т.д., пространственно, а значит, тело состоит, складывается из чисел.

     Но в таком случае единицы, или монады, пифагорейцев естественно предстают как телесные единицы, и не случайно пифагореец Экфант, по сообщению Аэтия, "первый объявил пифагорейские монады телесными".

При этом единицы, или монады, должны быть неделимыми - это их важнейший атрибут, без которого они не могли бы быть первыми началами всего сущего. То, что пифагорейцы действительно мыслили числа как неделимые единицы, из которых составлены тела, можно заключить из следующей полемики с ними Аристотеля: "То, что они не приписывают числу отдельного существования, устраняет много невозможных последствий; но что тела у них составлены из чисел и что число здесь математическое, это - вещь невозможная. Ведь и говорить о неделимых величинах неправильно, и <даже> если бы это было допустимо в какой угодно степени, во всяком случае единицы величины не имеют, а с другой стороны, как возможно, чтобы пространственная величина слагалась из неделимых частей? Но арифметическое число во всяком случае состоит из <отвлеченных> единиц; между тем они говорят, что числа - это вещи; по крайней мере, математические положения они прилагают к телам, как будто тела состоят из этих чисел". В пифагорейском понимании числа, таким образом, оказываются связанными два момента: неотделенность чисел от вещей и соответственно составленность вещей из неделимых единиц – чисел.

     Связь математики и философии так же видна в рассуждениях Канта об априорности восприятия пространства и времени.

     Кант пересматривает прежнее представление о человеческой чувственности, согласно которому чувственность лишь доставляет нам многообразие ощущений, в то время как принцип единства ис-ходит из понятий разума.

     Многообразие ощущений, говорит Кант, действительно дает нам чувственное восприятие; ощущение – это содержание, материя чувственности. Но помимо того наша чувственость имеет свои до-опытные, априорные формы, в которые с самого начала как бы “ук-ладываются” эти ощущения, с помощью которых ощущения как бы упорядочиваются. Эти формы – пространство и время. Пространство – априорная форма внешнего чувства ( или внешнего созерцания), тогда как время – априорная форма чувства внутреннего (внутренне-го созерцания).

     Синтетические суждения могут быть априорными в том случае, если они опираются на форму чувственности, а не на чувственный материал. А таковы, по Канту, именно суждения математики, кото-рая конструирует свой предмет, опираясь либо на чистое созерцание пространства (геометрия), либо на чистое созерцание времени (арифметика). Это не значит, конечно, что тем самым математика не нуждается в понятиях рассудка; но из одних только понятий, без об-ращения к интуиции, т.е. созерцанию пространства и времени, она не может обойтись. Исходные положения геометрии, например, что прямая есть кратчайшее расстояние между двумя точками, не могут быть получены аналитически, ибо, говорит Кант, из самого понятия прямой нельзя логически вывести признак величины расстояния; тут имеет место синтез разных понятий, а он не может основыватьься на случайном, единичном опыте, поскольку тогда математическое зна-ние не было бы всеобщим. Только чистая форма чувственности – пространство – позволяет нам, опираясь на  созерцание, в то же вре-мя получить необходимую связь двух разных понятий. Мы чертим прямую линию и непосредственно видим, что она есть кратчайшее расстояние между двумя точками. Таким образом, рассмотрение пространства и времени не как форм бытия вещей самих не себе, а как априорных форм чувственности познающего субъекта позволяет Канту дать обоснование объективной значимости идеальных конст-рукций - прежде всего конструкций математики. Тем самым и дается ответ на вопрос: как возможны синтетические суждения a priori. 

     Интересны слова Бертрана Рассела: “Я пришел к философии через математику, или скорей через желание найти некоторые основания для веры в истинность математики. С ранней юности я страстно верил, что в ней может быть такая вещь, как знание, что сочеталось с большой трудностью в принятии многого того, что проходит как знание. Казалось, что наилучший шанс обнаружить бесспорную истину будет в чистой математике, однако некоторые из аксиом Евклида были, очевидно, сомнительными, а исчисление бесконечно малых, когда я его изучал, содержало массу софизмов, с которыми я не мог справиться сам. Но я не имел никаких оснований сомневаться в истинности арифметики, хотя тогда я не знал, что арифметика может рассматриваться как охватывающая всю традиционную чистую математику. В возрасте восемнадцати лет я прочел “Логику” Милля, но был глубоко разочарован его доводами для оправдания арифметики и геометрии. Я не прочел еще Юма, но мне казалось, что чистый эмпиризм (который я был расположен принять) должен скорее привести к скептицизму, чем к подтверждению выдвигаемых Миллем научных доктрин. В Кембридже я прочел Канта и Гегеля, так же как и Логику” Брэдли, которая глубоко повлияла на меня. (Брэдли Фрэнсис Герберт (1846—1924) — главный представитель английского абсолютного идеализма. Критиковал традицию британского номинализма и эмпиризма, а также ассоциативную психологию. По Брэдли, в процессе познания всегда дается нечто универсальное, поэтому ориентация эмпиристов на фиксацию и обобщение изолированных фактов несостоятельна. Объективно-идеалистическая метафизика Брэдли построена на противопоставлении противоречивой сферы “видимости” и подлинной реальности — “Абсолюта” Для его “Принципов логики” (1883) характерно влияние гегелевской диалектической логики и антипсихологистская установка. Брэдли негативно воспринял новую математическую логику - прим.ред.). Несколько лет я был учеником Брэдли, но примерно в 1898 г я изменил свои взгляды в значительной мере в результате дискуссии с Д. Э. Муром Я не мог больше полагать, что познание оказывает влияние на то, что познается. Также я убедился в справедливости плюрализма Анализ математических утверждений склонил меня к тому, что они не могут быть объяснены даже как частичные истины, если не допускается плюрализм и реальность отношений Случай привел меня в это время к изучению Лейбница, и я пришел к заключению (впоследствии подтвержденному мастерскими исследованиями Кутюра), что большинство его характерных мнений было обязано чисто логической доктрине, что каждое суждение имеет субъект и предикат. (Кутюра Луи (1868-1914) - французский логик, одним из первых обративший внимание на современное значение логических идей Лейбница) Эту доктрину Лейбниц разделял со Спинозой, Гегелем и Брэдли. Мне показалось, что если ее отвергнуть, то весь фундамент метафизики этих философов разрушится. Я, таким образом, вернулся к проблеме, которая вначале привела меня к философии, а именно к основаниям математики, применив к ней новую логику, разработанную в основном Пеано и Фреге, которая доказала (по крайней мере, так я считаю) значительно большую плодотворность, чем логика традиционной философии. (Пеано Джузеппе (1858-1932) - итальянский математик, разработавший систему логических аксиом, на основе которых должна была строиться арифметика). В первую очередь я обнаружил, что многие из прежних философских аргументов о математике (заимствованных в основном от Канта) оказались тем временем несостоятельными благодаря прогрессу математики. Неевклидовы геометрии подорвали аргументацию трансцендентальной эстетики. Вейерштрасс показал, что дифференциальное и интегральное исчисления не требуют концепции бесконечно малых, и, следовательно, все то, что было сказано философами о таких предметах, как непрерывность пространства, времени и движения должно рассматриваться как явная ошибка. (Вейерштрасс Карл Теодор Вильгельм (1815-1897) - немецкий математик, занимавшийся логическим обоснованием математического анализа). Кантор освободил концепцию бесконечного числа от противоречий и тем самым справился с антиномиями как Канта, так и Гегеля. Наконец, Фреге показал детально, как арифметика может быть выведена из чистой логики без привлечения каких-либо новых идей или аксиом, таким образом, опровергнув утверждение Канта, что “7 + 5 - 12” является синтетическим — по крайней мере в обычной интерпретации этого утверждения. (Кантор Георг (1845—1918) - немецкий математик, один из создателей современной теории множеств. Фреге Готлоб (1848—1925) — немецкий математик и логик, один из создателей логической семантики). Поскольку все эти результаты были получены не с помощью какого-либо героического метода, а посредством терпеливых детальных рассуждений, я стал думать, что философия, вероятно, заблуждалась, применяя героические средства для разрешения интеллектуальных трудностей, которые можно было преодолеть просто с помощью большей внимательности и аккуратности в рассуждениях. Такой взгляд со временем все больше и больше укреплялся и привел меня к сомнению относительно того, отличается ли философия как исследование от науки и обладает ли она своим собственным методом, являющимся чем-то большим, чем неудачным наследием теологии.”

3. Соотношение математики и логики.

Чтобы правильно поставить сам вопрос о соотношении математики и логики, необходимо, очевидно, рассмотреть его в исторической перспективе. Это обстоятельство не игнорирует и сам Б. Рассел. «Математика и логика,— пишет он,— исторически говоря, были целиком различными занятиями. Математика обычно ассоциировалась с естествознанием, логика — с греками. Но обе развились в настоящее время: логика стала более математической, а математика — более логической. Следствием этого является то, что сейчас стало совсем невозможно провести разграничительную линию между ними: фактически они стали единым исследованием. Они отличаются друг от друга так же, как юноша от мужчины: логика есть юность математики, а математика — зрелость логики».

В этом отрывке Рассел справедливо подчеркивает тесное взаимодействие между математикой и логикой в процессе их исторического развития, выявившееся с особой силой в нашем столетии. Именно в силу этого оказывается весьма трудным решить, какая из этих. наук генетически предшествовала другой. Многие специалисты склоняются к мысли, что математическое знание по крайней мере в полуэмпирической форме существовало задолго до того, как были открыты правила дедуктивных рассуждений. Прежде чем греческие геометры стали логически систематизировать результаты, найденные их предшественниками — египтянами, должна быжа существовать довольно развитая совокупность математических знаний, непосредственно связанных с различными вычислениями и измерениями. С другой стороны, трудно допустить, чтобы при получении этого знания не применялись те или иные принципы позднее возникшей логики.

Применение логических правил рассуждения нельзя отождествлять с обоснованием и дальнейшей разработкой этих правил. Человек, не знакомый с логикой, может тем не менее рассуждать правильно, т. е. приходить к истинным заключениям. Разумеется, только у греков математика превратилась в систематизированное научное знание, стала теоретической наукой, в которой широко использовались не только дедуктивные рассуждения, но и позднее возникший аксиоматический метод.

Все это показывает, что генетически логика вряд ли могла возникнуть раньше математики. Во всяком случае, если говорить о ясно сформулированных принципах дедуктивных рассуждений и их использовании и математике, то впервые они были развиты греческими философами. Аристотель и стоики в значительной мере усовершенствовали и систематизировали эти принципы, так что их работа представляет скорее не начало, а завершение длительного этапа многочисленных исследований в этой области, восходящих еще к VI в. до н. э.

Вряд ли, однако, тесную взаимосвязь и взаимодействие между логикой и математикой можно рассматривать как аргумент в пользу их идентичности, или тождества. И такое доказательство их идентичности вовсе не есть дело деталей, как в этом пытается уверить нас Рассел, хотя, как показала дальнейшая критика, не все эти детали являются убедительными и бесспорными. «...Начиная с предпосылок,— пишет он,— которые всеми будут допускаться как принадлежащие к логике, и придя посредством дедукции к результатам, которые с очевидностью принадлежат к математике, мы находим, что там не имеется пункта, где может быть проведена разграничительная линия, с логикой слева и математикой справа».

Но как мы уже видели, такие аксиомы, как аксиома бесконечности или аксиома свободного выбора, относятся скорее к теории множеств, т. е. к математике, чем к логике. Даже само определение понятия числа в терминах теории классов, которое играет такую важную роль в осуществлении программы логицизма, является в сущности определением в рамках теории множеств, поскольку термин класс всегда можно заменить термином множество. Наконец, некоторые исходные понятия теории множеств неявно используются в самом построении логических исчислений, которые применяются Фреге и Расселом при дедукции теорем из аксиом.

Все это показывает, что в подлинном смысле слова речь может идти не о строгой дедукции всей чистой математики из логики, а о тесной взаимосвязи между ними в процессе математического познания и исследования оснований обеих наук. Впрочем, это обстоятельство в ряде мест своей книги «Введение в математическую философию» и в приведенных выше цитатах признает, кажется, и сам Рассел.

С философской точки зрения при решении вопроса о соотношении логики и математики более существенными являются аргументы, относящиеся не столько к технической стороне самих деталей дедукции математики из логики, сколько к выяснению общности и различия их объектов исследования. Как мы подробно покажем в последней главе, предметом изучения современной математики являются различные абстрактные формы и структуры, которые обладают той особенностью, что в рамках математического исследования они могут рассматриваться независимо от конкретного содержания предметов и процессов, которым присущи эти формы и структуры. Простейшими из таких структур являются количественные отношения и пространственные формы, которые изучаются в элементарной и высшей математике. В процессе дальнейшего абстрагирования и обобщения возникают новые более сложные структуры и их комбинации, которые были названы абстрактными структурами. Такие структуры оказываются применимыми для изучения не только отношений между величинами, числами и обычными пространственными фигурами, но и объектов совершенно иной природы. С их помощью можно исследовать, например, логические отношения между высказываниями и анализировать теорию дедуктивного вывода, как это делается в математической логике.

Страницы: 1, 2, 3