|
|
Для каждого из проектов А и В может быть рассчитана ожидаемая норма доходности ERR — средневзвешенное (где в качестве весов берутся вероятности) или вероятностное среднее возможных IRR n ERR = ∑ Pi IRRi (1.1) I=1 Здесь n— число возможных ситуаций. Для проекта А по формуле (1.1) получаем: ERR А = 0,25 х 90% + 0,5 х 20% + 0,25 х (-50%) = 20% Для проекта В: ERR В = 0,25 х 25% + 0,5 х 20% + 0,25 х 15% = 20% Таким образом, для двух рассматриваемых проектов ожидаемые нормы доходности совпадают, несмотря на то, что диапазон возможных значений IRR сильно различается: у проекта А от -50% до 90%, у проекта В — от 15% до 25%. Мы предположили, что возможны три состояния экономики: норма, спад и подъем. На самом же деле состояние экономики может варьироваться от самой глубокой депрессии до наивысшего подъема с бесчисленным количеством промежуточных положений. Обычно среднему (нормальному) состоянию соответствует самая большая вероятность, далее значения вероятностей равномерно уменьшаются при удалении от нормы как в одну (подъем), так и в другую (спад) сторону, стремясь к нулю в крайних положениях (полная депрессия и наибольший подъем). Если при этом величина доходности, соответствующая нормальному положению, является одновременно и средним арифметическим двух крайних значений, то мы получаем распределение, которое в теории вероятностей носит название «нормального» и графически изображается следующим образом (при том, что сумма всех вероятностей остается, естественно, равной единице): Нормальное распределение достаточно полно отражает реальную ситуацию и дает возможность, используя ограниченную информацию, получать числовые характеристики, необходимые для оценки степени риска того или иного проекта. Далее будем всегда предполагать, что мы находимся в условиях нормального распределения вероятностей. Предполагается, что для проекта А в наихудшем случае убыток не составит более 50%, а в наилучшем случае доход не превысит 90%. Для проекта В — 15% и 25% соответственно. Очевидно, что тогда значение ЕRR останется прежним (20%) для обоих проектов, совпадая со значением среднего состояния. Соответствующая же среднему значению вероятность понизится, причем не одинаково в наших двух случаях. Р 20 90 ERR Рис. 3. Распределение вероятностей для проектов А и В Очевидно, чем более «сжат» график, тем выше вероятность, соответствующая среднему ожидаемому доходу (ЕRR), и вероятность того, что величина реальной доходности окажется достаточно близкой к ЕRR. Тем ниже будет и риск, связанный с соответствующим проектом. Поэтому меру «сжатости» графика можно принять за достаточно корректную меру риска. Меру «сжатости» определяет величина, которая в теории вероятности носит название «среднеквадратичного отклонения» —σ— и рассчитывается по следующей формуле: σ = ∑(IRRi - IRR)²pi (1.2) Чем меньше величина а, тем больше «сжато» соответствующее распределение вероятностей, и тем менее рискован проект. При этом для нормального распределения вероятность «попадания» в пределы ERR ± σ составляет 68,26%. Рассчитаем значение σ для рассматриваемых проектов А и В. Проект А: σ = (90 - 20)2 0,25 + (20 - 20)2
0,5 + (-50 - 20)2 0,25 = 49,5%. Как видим, для второго проекта с вероятностью 68,26% можно ожидать величину доходности IRR= 20% + 3,5%, т.е. от 16,5% до 23,5%. Риск здесь минимальный. Проект А гораздо более рискованный. С вероятностью 68,26% можно получить доходность от —29,5% до 69,5%. Считается, что среднерискованной операции соответствует значение σ около 30%. В рассмотренном примере распределение вероятностей предполагалось известным заранее. Во многих ситуациях бывают доступны лишь данные о том, какой доход приносила некая финансовая или хозяйственная операция в предыдущие годы. Например, доступная информация может быть представлена в следующем виде (см. табл. 3). Таблица 3. Динамика 1КК | ||||||||||||||||||||||
Год |
IRR |
||||||||||||||||||||||
1995 |
10% |
||||||||||||||||||||||
1996 |
8% |
||||||||||||||||||||||
1997 |
0 |
||||||||||||||||||||||
1998 |
15% |
В этом случае для расчета среднеквадратичного отклонения σ используется такая формула
σ = ∑(IRRi -ARR)2/n. (1.3)
Здесь n — число лет, за которые приведены данные, а ARR — среднее арифметическое всех IRR за n лет — рассчитывается по формуле:
n
ARR=∑IRRi/n. (1.4)
i
Для нашего примера получаем:
ARR = (10 + 8 + 15)/4 = 8,25%.
σ = [(10 - 8,25)2 + (8 - 8,25)2 + (0 - 8,25)2 + (15 -8,25)] / 4 = 5,4%.
Еще одной величиной, характеризующей степень риска, является коэффициент вариации СУ. Он рассчитывается по следующей формуле:
СV = σ/ERR (1.5)
и выражает количество риска на единицу доходности. Естественно, чем выше СV, тем выше степень риска.
В рассмотренном чуть раньше примере для проектов А и В коэффициенты вариации равны соответственно:
СVА = 49,5/20 = 2,475;
СVВ = 3,5/20 = 0,175.
В данной ситуации найденные коэффициенты уже не добавляют существенной информации и могут служить лишь для оценки того, во сколько раз один проект рискованнее другого: 2,475/0,175 = 14. Проект А в 14 раз рискованнее проекта В.
Коэффициент вариации необходимо знать в случае, когда требуется сравнить финансовые операции с различными ожидаемыми нормами доходности ЕКК.
Пусть для проектов С и В распределение вероятностей задается следующей таблицей 4:
Таблица 4. Распределение вероятностей для проектов С и В
Состояние экномики
Вероятность данного состояния
Проект А, 1КК
Проект В,
тк
Подъем
Р1=0,2
30%
115%
Норма
Р2 = 0,6
20%
80%
Спад
РЗ = 0,2
10%
45%
Рассчитаем для обоих проектов ERR, σ и СV. По формуле (1.1) получаем:
ERRс = 30x0,2 + 20x0,6 + 10x0,2 = 20%;
ERRD= 115x0,2 + 80x0,6 + 45x0,2 = 80%.
По формуле (1,2):
σ с = (30 - 20) 2 0,2 + 0 + (10 - 20) 2 0,2 = 6,3%;
σD = |
(115- 80) 2 0,2 + 0 + (45 - 70) 2 0,2 = 22,14%.
Таким образом, у проекта D величина а намного больше, но при этом больше и значение ERR. Для того, чтобы можно было принять решение в пользу того или иного проекта, необходимо рассчитать коэффициент СV, отражающий соотношение между ERR и σ.
По формуле (1.5) получаем:
СVС = 6,3/20 = 0,315;
СVD = 22,14/80 = 0,276.
Как видно, несмотря на достаточно большое значение σ? величина СV у проекта D меньше, т.е. меньше риска на единицу доходности, что достигается за счет достаточно большой величины ERRD.
В данном случае расчет коэффициента СV дает возможность принять решение в пользу второго проекта.
Итак, мы получили два параметра, позволяющие количественно определить степень возможного риска: среднеквадратичное отклонение σ и коэффициент вариации СV. Но при этом мы вынуждены отметить, что определение степени риска не всегда позволяет однозначно принять решение в пользу того или иного проекта. Поэтому рассмотрим еще один пример.
Известно, что вложение капитала в проекты К и L в последние четыре года приносило следующий доход (см. табл. 5).
Определить, в какой из проектов вложение капитала связано с меньшим риском.
Таблица 5. Доходность проектов К и L в динамике
Год
Доходность предприятия К
Доходность предприятия L
1995
20%
40%
1996
15%
24%
1997
18%
30%
1998
23%
50%
Решение
По формуле (1.4) рассчитаем среднюю норму доходности для обоих проектов.
АRRК = (20 + 15 + 18 + 23) / 4 = 19%.
АRRL = (40 + 24 + 30 + 50) / 4 = 36%.
По формуле (1.3) найдем величину среднеквадратичного отклонения ____________________________
σ к = [(20 - 19)2 + (15 - 19)2 + (18 - 19)2 + (23 - 19)] / 4 = 2,9%.
σL = [(40 - 36) 2 + (24 - 26) 2 + (30 - 36) 2 + (50 - 36)] / 4 = 9,9%.
Видим, что у проекта L средняя норма доходности выше, но при этом выше и величина σ. Поэтому необходимо рассчитать коэффициент вариации СV.
По формуле (1.5) получаем:
CVK=2,9/19=0,15;
СVL= 9,9 / 36 = 0,275.
Новости |
Мои настройки |
|
© 2009 Все права защищены.