Дальнейшее развитие гипотезы было направлено на изучение свойств премии: является ли премия постоянной, либо она изменяется под воздействием других факторов.

2.3 Теория об изменяющейся во времени премии за срок

Теория об изменяющейся во времени премии за срок (time varying term premium) учитывает возможность влияния экзогенных переменных состояния на уровень и знак форвардной премии за срок. Ожидаемая избыточная доходность от владения облигациями с разными сроками до погашения зависит как от срока до погашения, так и от экзогенных факторов, изменяющихся во времени. Таким образом, премия за срок зависит от срока до погашения облигации и изменяется во времени:

,

где z = z(t) – функция, описывающая изменение переменной состояния во времени.

Наибольшее распространение получило направление исследований, связывающих колебания и знак премии за срок с движением макроэкономических переменных и циклов экономической активности. В работах Барро, Плоссера, Турновски и Миллера, Ли изучались эффекты фискальной политики и государственных расходов на динамику краткосрочных и долгосрочных ставок. В частности, выполняется ли условие "эквивалентности Рикардо" для ставок с различными сроками до погашения облигации. Ряд экономистов рассматривали модели, связывающие цикличность потребления и структуру процентных ставок. Большое число работ посвящено объяснению наклона кривой доходности в контексте циклов экономической активности и ожиданий экономического роста или рецессии.

2.4 Теория сегментации рынков

Следующей теорией, объясняющей различие в уровнях доходности бумаг с различными сроками погашения, является теория сегментации рынков.

Теория сегментации рынков (market segmentation hypothesis) основывается на предположении о том, что различные инвесторы могут иметь различные предпочтения относительно желаемых сроков инвестирования, либо принуждены законодательно осуществлять вложения в облигации с определенными сроками до погашения. Т.е. рынок облигаций поделен на сегменты, в которых действуют определенные инвесторы. Каждый сегмент представляет собой нишу для каждого участника в силу экономических или законодательных ограничений. На рынке облигаций преобладают институциональные инвесторы, имеющие свои предпочтения.

Так, коммерческие банки инвестируют средства преимущественно в краткосрочные бумаги, чтобы иметь наиболее ликвидные активы для обслуживания требования по вкладам.

Страховые организации, которые застраховывают от несчастных случаев, сосредотачивают внимание на среднесрочных бумагах.

Организации, которые застраховывают жизнь, предпочитают долгосрочные инвестиции и т.д.

Поэтому на ставку процента влияет спрос и предложение финансовых ресурсов в рамках каждого сегмента, а не рынка в целом, т.е. нет прямой связи между уровнем кратко- средне- и долгосрочных ставок. Это не означает, что инвесторы не выходят за рамки своих ниш. В случае более выгодной ситуации в соседнем сегменте вкладчик, скорее всего, расширит границы своей ниши, но не значительно. Теория сегментации рынков объясняет форму кривой доходности преимущественно как результат взаимодействия спроса и предложения в каждом сегменте.

Кривая процентных доходов определяется взаимодействием спроса и предложения на различных сегментах рынка облигаций в зависимости от широкого спектра сроков погашения. Финансовые учреждения с четкими предпочтениями определения сроков занимают подобные сегменты и действенно являются причиной распределения рынка облигации на различные сегменты, которые основаны на сроках выплаты.

Эти предпочтения для определенного ряда сроков не абсолютны. В случаях, когда учреждения доминируют на рынке облигаций и никогда не изменяют выбранным предпочтениям относительно сроков, обратимся к прерывистой кривой процентных доходов, которая изображена на рис. 1.

Рис. 1. Особый случай на сегментированном рынке облигаций

Согласно теории сегментирования рынка (известной также как теории естественных предпочтений), учреждения предпочитают определенные сроки, но их предпочтения не абсолютны. В ситуации, которая рассмотрена на рис. 1, страховые компании, занимающиеся страхованием от несчастных случаев, могут улучшить свое положение путем принятия более коротких сроков, по сравнению с настоящими, наиболее длинными сроками. В обоих случаях процентные доходы по облигациям будут расти. Следует отметить, что такая прерывистая кривая процентных доходов не имеет места на реальном рынке.

2.5 Теория предпочитаемой среды

Теория предпочитаемой среды (preferred habitat theory) отрицает наличие фундаментальных макроэкономических основ определения форвардной премии за срок. Предполагается, что инвестор, в первую очередь – непрофессиональный, имеет свой собственный горизонт инвестиций и предпочитает покупать облигации, срок до погашения которых не выходит за его пределы. Наблюдаемая на рынке временная структура доходности ценных бумаг является результатом принятия экономическими агентами множества независимых решений. В каждой из таких "сред" существуют свои спрос и предложение, что может приводить к любому знаку и изменению премии за срок. Таким образом, лишь облигации с близкими сроками до погашения могут рассматриваться как субституты и иметь одинаковую форвардную премию за срок. По своим объясняющим свойствам теория предпочитаемой среды близка теории сегментации рынков.

Данная теория не противоречит ни одному из перечисленных ранее предположений, объясняющих временную структуру процентных ставок.

Таким образом, в экономической теории существует пять основных теорий временной структуры процентных ставок: теория ожиданий, теория предпочтения ликвидности, теория об изменяющейся во времени премии за срок, теория сегментация рынков и теория "предпочитаемой среды". К настоящему времени практически преодолены противоречия между различными подходами к объяснению формы кривой доходности, и выбор конкретной теории зависит от предпосылок, целей и результатов конкретного исследования.

3. Модели кривой доходности

На протяжении изучения структуры процентных ставок было предложено множество моделей ее оценки на основе рыночных данных. Всё множество подходов к построению кривой доходности можно разделить на функциональные модели и модели, основанные на сплайнах, которые отличаются различным соотношением между качеством приближения к реальным данным и гладкостью.

Функциональный подход предполагает представление кривой доходности как единой функции для всех сроков погашения. Вид функции может быть получен из моделей поведения процентных ставок и отвечать теоретическим предпосылкам экономических моделей, или может использоваться класс аппроксимирующих функций, например экспоненциальные или полиноминальные функции.

3.1 Модель Васичека

Функция кривой доходности может быть получена из стохастических моделей процентных ставок, например из модели Васичека. В этой модели изменение краткосрочных процентных ставок задается уравнением:

dr(t) = λ (r(∞) − r(t))dt +σdz(t) ,

где z(t) - стандартное броуновское движение. При отсутствии случайного члена, то есть σ = 0 , решением является экспоненциальная функция:

r(t) = r(∞) − (r(∞) − r(0))e−tλ

Величины r(∞) и r(0) равны равновесной краткосрочной ставке и некоторой начальной краткосрочной ставке. Масштабирующий параметр λ характеризует скорость приближения текущего значения ставки к равновесному уровню.

Кривая доходности в стохастической модели Васичека задается формулой:

Кривая доходности Васичека может быть прямой линий, возрастающей или убывающей, однако данная функция не позволяет кривой доходности иметь S-форму, горб (среднесрочные ставки выше как краткосрочных, так и среднесрочных), или, наоборот, U-форму.

Кроме модели Васичека для получения функции кривой доходности могут быть использованы другие стохастические модели краткосрочных ставок, например модели Хала-Уайта, Кокса-Ингерсолла-Росса, Хо-Ли. Однако использование более сложных моделей, несмотря на свою теоретическую обоснованность, приводит к получению сложных многопараметрических функций кривой доходности, которые плохо приближаются к рыночным данным.

3.2 Модель Нельсона-Сигеля

Модель Нельсона-Сигеля (Nelson-Siegel, 1987) является одной из наиболее часто применяемых моделей на практике. В их работе "Parsimonious Modeling of Yield Curve" ("Простое моделирование кривой доходности") было отмечено, что класс функций, легко представляющий типичные формы кривой доходности, связан с решением дифференциальных уравнений. Кроме того, "теория ожиданий временной структуры процентных ставок дает эвристическую мотивацию для исследования этого класса функций, так как если спот ставки задаются дифференциальным уравнением, то форвардные ставки, являясь прогнозами (ожиданий), будут решениями этих уравнений".

Эксперименты с классом функций, являющихся решением линейного дифференциального уравнения второго порядка с действительными и неравными корнями характеристического уравнения, показали плохое приближение к реальным данным и отсутствие сходимости оценок, что является признаком избыточного количества параметров. Авторами было сделано предположение о равенстве корней характеристического уравнения, что дает более простое выражение для мгновенной форвардной процентной ставки:

  (1)

Интегрирование функции (1) от 0 до дает выражение для спот ставок в данной модели:

(2)

Кривая доходности Нельсона-Сигеля может принимать любые формы: монотонно возрастающую или убывающую, выпуклую (с горбом), U-форму и S-форму, которые встречаются на практике. Кроме того, каждое слагаемое в функции спот ставок оказывает наибольшее влияние на кратко-, средне- и долгосрочный сегмент кривой доходности, что добавляет гибкости модели.

Данная модель хорошо зарекомендовала себя на рынках как развитых, так и развивающихся стран. Она хорошо подходит для описания временной структуры ставок при малом количестве ценных бумаг, на основе доходностей которых строится кривая доходности, а также позволяет получить гладкую форму кривой, которую можно использовать в макроэкономических исследованиях и оценке финансовых инструментов.

3.3 Модель Свенссона

Модель Свенссона (Svensson, 1994) является модификацией модели Нельсона-Сигеля. В этой модели в формулу (1) добавляется еще одно слагаемое, которое позволяет получить еще один горб у кривой доходности:

(3)

Исследуя структуру форвардных ставок Швеции, Свенссон обнаружил недостаточную гибкость модели Нельсона-Сигеля при описании отдельных сегментов кривой доходности. Добавление слагаемого позволяет более точно оценить специфическую структуру ставок в отдельные промежутки времени, как правило, на краткосрочном сегменте кривой доходности. При оценке параметров модели Свенссона иногда используют значения четырех коэффициентов, полученные при оценке модели Нельсона-Сигеля, а затем проверяют значимость дополнительного слагаемого. Если модификация приводит к значительному улучшению приближения оцененной кривой к рыночным данным, и коэффициент a2 оказывается значимым, то используют модель Свенссона, в противном случае используют базовую модель Нельсона-Сигеля. Такой метод используется в оценке кривой бескупонной доходности Национальным банком Бельгии.

Сплайновые модели основываются на кусочном приближении индивидуальных сегментов кривой доходности сплайновыми функциями, которые гладко соединяются в узловых точках. На ограниченном интервале любая непрерывная функция может быть приближена произвольной полиноминальной функцией, и точность приближения увеличивается с ростом степени полинома. Однако использование единственной полиноминальной функции высокой степени для приближения кривой доходности для всех сроков погашения часто отличается недостаточной сглаженностью полученной кривой доходности. Для решения этой проблемы полиноминальные функции высоких порядков приближаются последовательностью полиномов низких порядков. Как правило, в качестве сплайновых функций используются квадратичные или кубические полиномы, аппроксимирующие кривую доходности на отдельных сегментах между узловыми точками, в которых значения ставок определяются из рыночных данных. Гладкое соединение сплайнов обеспечивается путем подбора параметров соседних сплайнов таким образом, чтобы их значения и значения первой производной (квадратичные сплайны), или значения первой и второй производной (кубические сплайны), совпадали в узловых точках.

При очень большом количестве узловых точек кривизна каждого сплайна может быть любой и кривая доходности в таком случае может быть негладкой, значительно изменяясь на отдельных сегментах при изменении значений ставок в узловых точках. В 1995 году Фишер и другие ученые разработали метод сглаживающих сплайнов (smoothing splines), который позволяет получить гладкое приближение кривой доходности с использованием сплайнов, сохраняя качество приближения. В их методе изначально задается максимальное количество узловых точек, что приводит к разделению кривой доходности на множество участков и появлению большого числа параметров, задающих каждый сплайн. Затем определяется оптимальное число узловых точек путем минимизации отношения суммы квадратов ошибок к количеству параметров всей кривой доходности.

Таким образом, удается исключить некоторую часть узловых точек и параметров, которые не вносят существенный вклад в улучшение качества приближения модели.

Выбор модели для приближения кривой доходности на конкретном рынке определяется несколькими факторами. Важным фактором является количество торгуемых облигаций, на основе данных по которым оценивается кривая доходности. Функциональные модели хорошо подходят для экстраполяции – они позволяют достаточно точно оценить ставки для тех сроков погашения, близко к которым не погашается ни одна бумага. Также они позволяют получить адекватные оценки ставок между сроками погашения торгуемых бумаг, если существуют большие разрывы данных. Сплайновые модели дают хорошие результаты при большом количестве торгуемых бумаг, достаточно равномерно распределенных по срокам погашения. Однако их можно использовать только для интерполяции – для оценки ставок на сроках в диапазоне между минимальным и максимальным сроком среди торгующихся бумаг. За этими пределами полиноминальные сплайны без ограничений на абсолютное значение и значения производных стремятся к бесконечности.

Другим критерием, тесно связанным с первым, является ликвидность рынка. Большое число сделок и большие объемы торгов минимизируют возможность нерыночного ценообразования и появления случайных скачков цен и доходностей, связанных с единичными сделками. В таком случае выбор модели может зависеть от целей анализа. Если определение временной структуры ставок требуется для макроэкономического анализа, оценки ожиданий ставок и инфляции, то функциональные модели имеют преимущество за счет своей гладкости, экстраполирующих возможностей и простоты оценки. Если же определение структуры ставок требуется для оценки финансовых активов, например для определения стоимостей торгующихся облигаций, и выявления арбитражных возможностей, то сплайновые модели имеют преимущество. При выполнении первого ограничения на значительное количество одновременно торгуемых ценных бумаг, сплайновые модели позволяют оценить особенности каждого временного участка кривой доходности и получить более точные оценки справедливых стоимостей ценных бумаг. Если рынок низколиквидный, и по некоторым бумагам в день проходят единичные сделки, или сделки отсутствуют, то это чревато появлением значительных случайных выбросов данных, из-за чего сплайновые модели могут дать необоснованный изгиб на определенных участках. Функциональные модели благодаря своей сравнительной жесткости позволяют сгладить такие выбросы, добавляя кривым доходности преемственности, которая предполагает возможность сравнения кривых, построенных в разные моменты времени (торговые дни).

Страницы: 1, 2, 3