Знание — сила. Библиотека научных работ. ~ Портал библиофилов и любителей литературы ~

Меню Главная Биология и химия Иностранные языки и языкознание История и исторические личности Коммуникации связь цифровые приборы и радиоэлектроника Краеведение и этнография Кулинария и продукты питания Маркетинг реклама и торговля Мировая экономика МЭО Не Российское законодательство Немецкий Неопределено Нотариат Общениеэтика семья брак Основы права Охрана окружающей среды экология Философия Финансовое право Финансовый менеджмент финансовая математика Финансы деньги кредит Французский Хозяйственное право Цифровые устройства Этика эстетика Блог Карта сайта Поиск По всему сайту Статьи Комментарии Файлы Форум Гостевая Ссылки Новости

Задача квадратичного программирования с параметром в правых частях ограничений и ее применение при ф...       (4.1.6)             а

(4.1.7)

          Из выражений (4.1.4) вытекает также тот факт, что на интервалах (4.1.5) вектор-функция x*(m) представляет собой отрезок прямой в пространстве En , и является линейной. Стало быть, значения целевой функции на интервале представляют собой параболу.      

4.3 Применение метода субоптимизации на многообразиях к решению параметрической задачи квадратичного программирования.

          Непосредственно из вышеизложенного следует алгоритм решения задачи квадратичного программирования с параметром в правых частях ограничений:

          1. В начальной точке интервала допустимых значений параметра строится решение задачи квадратичного программирования с помощью метода субоптимизации, описанного выше.

          2. С помощью формул (4.1.6-4.1.7) определяется интервал на котором полученное решение остается оптимальным.

          3. В правой точке полученного интервала строится решение задачи квадратичного программирования методом субоптимизации на многообразиях. Поскольку в этой точке существуют два оптимальных базиса, с целью предотвращения зацикливания в качестве начального базиса для решения задачи предлагается использовать предыдущий оптимальный базис (если решение потеряло оптимальность) или предыдущий оптимальный базис с исключенными векторами, чьи базисные переменные обратились в ноль.

5.Экономическая часть

          Рассмотрим применение описанной теории к задаче определения оптимального портфеля ценных бумаг. Сформулируем задачу:

          Имеется n видов ценных бумаг, имеющих доходности выражающиеся случайными величинами , распределенными по нормальному закону с параметрами . Помимо этого, имеется один вид ценных бумаг, дающий гарантированную доходность . Некий финансист ищет такой способ вложения единицы капитала в эти ценные бумаги, который обеспечил бы максимальный уровень дохода с заданной вероятностью a.

          Покажем, что указанную задачу можно свести к задаче математического программирования:

          Предположим, что вектор  задает вложения финансиста в ценные бумаги соответствующего типа, а величина  вложения в ценные бумаги с гарантированной доходностью. Тогда доход финансиста представляет собой случайную величину:

          Очевидно, что характеристики этой случайной величины зависят от решения финансиста, и что эта величина распределена по нормальному закону:

          Чтобы перейти от задачи максимизации к задаче минимизации, запишем необходимую нам функцию распределения следующим образом:

          Запишем функцию квантили уровня a для этой функции распределения:

          При заданном уровне a нам требуется минимизировать эту функцию, тем самым, максимизируя искомый доход R .

          Для этого заметим, что случайная величина (-R) распределена также по нормальному закону с параметрами . Тогда можно записать функцию распределения этой величины, используя функцию Лапласа:

          Следовательно, можно заключить, что:

          Обозначим квантиль уровня a , т.е. решение уравнения

          Учитывая монотонность функции Лапласа, неравенство можно записать в следующем виде:

          Отсюда можно легко получить выражение, дающее ключ к виду функции квантили:

          Учитывая определение функции квантили:

          получаем

          Характеристики распределения случайной величины R выглядят следующим образом:

          Таким образом, исходная задача сводится к следующей задаче математического программирования:

          Покажем, как указанная задача математического программирования может быть сведена к задаче квадратичного программирования с параметром в правых частях ограничений:

          Введем в рассмотрение параметр

          Тогда задачу можно записать в следующем эквивалентном виде:

          При каждом фиксированном значении параметра данная задача может быть сформулирована следующим образом:

          Это задача квадратичного программирования с параметром в правой части ограничений. Решая эту задачу для каждого значения параметра получаем значения функции , а, следовательно, и значения искомой минимизируемой функции

          Таким образом исходная задача сводится к последовательному решению двух задач - задачи квадратичного программирования с параметром в правой части ограничений и задаче одномерной оптимизации.

6.Библиография

1. Бахшиян Б.Ц., Назиров Р.Р, Эльясберг П.Е. Определение и коррекция движения (гарантирующий подход) - М.: Наука, 1980.

2. Зангвилл У.И. Нелинейное программирование. Единый подход. - М.: Советское Радио, 1973.

3. Муртаф Б. Современное линейное программирование. - М.:Мир, 1984.

4. Пропой А.И., Ядыкин А.Б. Параметрическое квадратичное и линейное программирование. - Автоматика и телемеханика, 1978, т.12, NN 2,4.

5. Хедли Дж. Нелинейное и динамическое программирование. - М.: Мир, 1967.

6. Ядыкин А.Б. Параметрический метод в задачах квадратичного программирования с вырожденной квадратичной формой. - Журнал вычислительной математики и математической физики, 1975, т.8, N4.

7. Boot J. Quadratic Programming. - Amsterdam: North-Holland Publ. Co., 1964.

8. Van de Pann C. Methods for Linear and Quadratic Programming. - Amsterdam: North-Holland Publ. Co., 1975.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

     Наверх    

© 2009 Все права защищены.