Значение математических приемов статистического исследования в современных условиях

Значение математических приемов статистического исследования в современных условиях.

1.Математические приемы и способы экономического анализа и область их применения

Способы и приемы экономического анализа можно условно подразделить на две группы: традиционные и математические. В число основных традиционных способов и приемов экономического анализа можно включить использование абсолютных, относительных и средних величин; применения сравнения, группировки, индексного метода, метода цепных подстановок. Это такие способы и приемы, которое нашли применение почти с момента возникновения экономического анализа как обособленной отрасли специальных знаний. Многие математические способы вошли в круг аналитических разработок значительно позже, когда был налажен выпуск быстродействующих ЭВМ (1, с.46).
Широкое использование математических методов является важным направлением совершенствования экономического анализа деятельности предприятий и их подразделений. Это достигается за счет сокращения сроков проведения анализа, более полного охвата влияния факторов на результаты коммерческой деятельности, замены приближенных или упрощенных расчетов точными вычислениями, постановки и решения новых многомерных задач анализа, практически не выполнимых вручную или традиционными методами.
Рассмотрим наиболее часто встречающиеся математические приемы и способы экономического анализа.
Методы элементарной математики (дифференциальное и интегральное исчисление, вариационное исчисление) используются в обычных традиционных экономических расчетах при обосновании потребностей в ресурсах, учете затрат на производство, разработке планов, проектов, при балансовых расчетах и т.д.
Значительное распространение в экономическом анализе имеют методы математической статистики. Эти методы применяются в тех случаях, когда изменение анализируемых показателей можно представить как случайный процесс. Статистические методы, являясь основным средством изучения массовых, повторяющихся явлений, играют важную роль в прогнозировании поведения экономических показателей. Наибольшее распространение из математико-статистических методов в экономическом анализе получили методы множественного и парного корреляционного анализа. Для изучения одномерных статистических совокупностей используются: вариационный ряд, законы распределения, выборочный метод. Для изучения многомерных статистических совокупностей применяют корреляции, регрессии, дисперсионный, ковариационный, факторный виды анализа (1, с.96).
Эконометрические методы строятся на синтезе трех областей знаний: экономики, математики и статистики. Основой эконометрии является экономическая модель, под которой понимается схематическое представление экономического явления или процесса с помощью научной абстракции, отражения их характерных черт. Наибольшее распространение в современной экономике получил метод анализа экономики "затраты - выпуск". Это матричные (балансовые) модели, строящиеся по шахматной схеме и позволяющие в наиболее компактной форме представить взаимосвязь затрат и результатов производства. Удобство расчетов и четкость экономической интерпретации - главные особенности матричных моделей.
Метода математического программирования - основное средство решения задач оптимизации производственно-хозяйственной деятельности. По своей сути эти методы - средство плановых расчетов. Ценность их для экономического анализа выполнения бизнес-планов состоит в том, что они позволяют оценивать напряженность плановых заданий, определять лимитирующие группы оборудования, виды сырья и материалов, получать оценки дефицитности производственных ресурсов и т.д.
Также в экономическом анализе используется метод исследования операций. Под исследованием операций понимаются разработка методов целенаправленных действий (операций), количественная оценка полученных решений и выбор из них наилучшего. Предметом исследования операций являются экономические системы, в том числе производственно-хозяйственная деятельность предприятий. Целью является такое сочетание структурных, взаимосвязанных элементов систем, которое в наибольшей степени отвечает задаче получения наилучшего экономического показателя из ряда возможных (1, с.96).
Теория игр как раздел исследования операций - это теория математических моделей принятия оптимальных решений в условиях неопределенности или конфликта нескольких сторон, имеющих различные интересы.
Теория массового обслуживания исследует на основе теории вероятностей математические методы количественной оценки процессов массового обслуживания. Так, любое из структурных подразделений промышленного предприятия можно представить как объект системы обслуживания.
Экономическая кибернетика анализирует экономические явления и процессы в качестве очень сложных систем с точки зрения законов и механизмов управления и движения информации в них.
Наибольшее распространение в экономическом анализе получили методы моделирования и системного анализа. Используются главным образом математические модели, описывающие изучаемое явление или процесс с помощью уравнений, неравенств, функций и других математических средств. Моделирование и анализ периодических колебаний экономических показателей имеют большое значение в управлении хозяйственной деятельностью, в частности на предприятиях с сезонным характером производства, в торговле. Для моделирования периодических колебаний применяются методы спектрального и гармонического анализа. Такие исследования позволяют более точно и обоснованно разрабатывать плановые задания, уточнять мероприятия по улучшению организации труда и производства (1, с.115).

Значение  Математической статистики и ее новых разделов в современных условиях.

         Приведем краткие описания (типа статей в энциклопедических изданиях) математической статистики и ее наиболее важных для эконометрики сравнительно новых разделов, разработанных в основном после 1970 г., а именно, статистики объектов нечисловой природы и статистики интервальных данных.

Статистика математическая - наука о математических методах анализа данных, полученных при проведении массовых наблюдений (измерений, опытов). В зависимости от математической природы конкретных результатов наблюдений статистика математическая делится на статистику чисел, многомерный статистический анализ, анализ функций (процессов) и временных рядов, статистику объектов нечисловой природы. Существенная часть статистики математической основана на вероятностных моделях.

Выделяют общие задачи описания данных, оценивания и проверки гипотез. Рассматривают и более частные задачи, связанные с проведением выборочных обследований, восстановлением зависимостей, построением и использованием классификаций (типологий) и др.

Для описания данных строят таблицы, диаграммы, иные наглядные представления, например, корреляционные поля. Вероятностные модели обычно не применяются. Некоторые методы описания данных опираются на продвинутую теорию и возможности современных компьютеров. К ним относятся, в частности, кластер-анализ, нацеленный на выделение групп объектов, похожих друг на друга, и многомерное шкалирование, позволяющее наглядно представить объекты на плоскости, в наименьшей степени исказив расстояния между ними.

Методы оценивания и проверки гипотез опираются на вероятностные модели порождения данных. Эти модели делятся на параметрические и непараметрические. В параметрических моделях предполагается, что изучаемые объекты описываются функциями распределения, зависящими от небольшого числа (1-4) числовых параметров. В непараметрических моделях функции распределения предполагаются произвольными непрерывными. В статистике математической оценивают параметры и характеристики распределения (математическое ожидание, медиану, дисперсию, квантили и др.), плотности и функции распределения, зависимости между переменными (на основе линейных и непараметрических коэффициентов корреляции, а также параметрических или непараметрических оценок функций, выражающих зависимости) и др. Используют точечные и интервальные (дающие границы для истинных значений) оценки.

В статистике математической есть общая теория проверки гипотез и большое число методов, посвященных проверке конкретных гипотез. Рассматривают гипотезы о значениях параметров и характеристик, о проверке однородности (т.е. о совпадении характеристик или функций распределения в двух выборках), о согласии эмпирической функции распределения с заданной функцией распределения или с параметрическим семейством таких функций, о симметрии распределения и др.

Большое значение для эконометрики имеет раздел статистики математической, связанный с проведением выборочных обследований, со свойствами различных схем организации выборок и построением адекватных методов оценивания и проверки гипотез.

Задачи восстановления зависимостей активно изучаются более 200 лет, с момента разработки К. Гауссом в 1794 г. метода наименьших квадратов. В настоящее время наиболее актуальны методы поиска информативного подмножества переменных и непараметрические методы.

Различные методы построения (кластер-анализ), анализа и использования (дискриминантный анализ) классификаций (типологий) именуют также методами распознавания образов (с учителем и без), автоматической классификации и др.

Математические методы в статистике основаны либо на использовании сумм (на основе Центральной Предельной Теоремы теории вероятностей) или показателей различия (расстояний, метрик), как в статистике объектов нечисловой природы. Строго обоснованы обычно лишь асимптотические результаты. В настоящее время компьютеры играют большую роль в статистике математической. Они используются как для расчетов, так и для имитационного моделирования (в частности, в методах размножения выборок и при изучении пригодности асимптотических результатов).

Классическая статистика математическая лучше всего представлена в [2,4]. По историческим причинам основные российские работы публикуются в [3]. Обзор современного состояния статистики математической дан в [6].

Статистика объектов нечисловой природы - раздел математической статистики, в котором статистическими данными являются объекты нечисловой природы, т.е. элементы множеств, не являющихся линейными пространствами. Объекты нечисловой природы нельзя складывать и умножать на число. Примерами являются результаты измерений в шкалах наименований, порядка, интервалов; ранжировки, разбиения, толерантности и другие бинарные отношения; результаты парных и множественных сравнений; люсианы, т.е. конечные последовательности из 0 и1; множества; нечеткие множества. Необходимость применения объектов нечисловой природы возникает во многих областях научной и практической деятельности, в том числе и в социологии. Примерами являются ответы на "закрытые" вопросы в эконометрических, маркетинговых, социологических анкетах, в которых респондент должен выбрать одну или несколько из фиксированного числа подсказок, мили измерение мнений о привлекательности (товаров, услуг, профессий, политиков и др.), проводимое по порядковой шкале. Наряду со специальными теориями для каждого отдельного вида объектов нечисловой природы  в статистике объектов нечисловой природы имеется и теория обработки данных, лежащих в пространстве общей природы, результаты которой применимы во всех специальных теориях.

В статистике объектов нечисловой природы классические задачи математической статистики - описание данных, оценивание, проверку гипотез - рассматривают для данных неклассического типа, что приводит к своеобразию постановок задач и методов их решения. Например, из-за отсутствия линейной структуры в пространстве, в котором лежат статистические данные, в статистике объектов нечисловой природы математическое ожидание определяют не через сумму или интеграл, как в классическом случае, а как решение задачи минимизации некоторой функции. Эта функция представляет собой математическое ожидание (в классическом смысле) показателя различия между значением случайного объекта нечисловой природы и фиксированным элементом пространства. Эмпирическое среднее определяют как результат минимизации суммы расстояний от нечисловых результатов наблюдений до фиксированного элемента пространства. Справедлив закон больших чисел: эмпирическое среднее сходится при увеличении объема выборки к математическому ожиданию, если результаты наблюдений являются независимыми одинаково распределенными случайными объектами нечисловой природы и выполнены некоторые математические "условия регулярности".

Аналогичным образом определяют условное математическое ожидание и регрессионную зависимость. Из доказанной в статистике объектов нечисловой природы сходимости решений экстремальных статистических задач к решениям соответствующих предельных задач вытекает состоятельность оценок в параметрических задачах оценивания параметров и аппроксимации, а также ряд результатов в многомерном статистическом анализе. Большую роль в статистике объектов нечисловой природы играют непараметрические методы, в частности, методы непараметрической оценки плотности и регрессионной зависимости в пространствах общей природы, в том числе и в дискретных пространствах.

Для решения многих задач статистики объектов нечисловой природы - нахождения эмпирического среднего, оценки регрессионной зависимости, классификации наблюдений и др. - используют показатели различия (меры близости, расстояния, метрики) между элементами рассматриваемых пространств, вводимые аксиоматически. Так, в монографии [7] аксиоматически введено расстояние между множествами. Принятое в теории измерений как части статистики объектов нечисловой природы условие адекватности (инвариантности) алгоритмов анализа данных позволяет указать вид средних величин, расстояний, показателей связи и т.д., соответствующих измерениям в тех или иных шкалах. Методы построения, анализа и использования классификаций и многомерного шкалирования дают возможность сжать информацию и дать ей наглядное представление. К статистике объектов нечисловой природы относятся методы ранговой корреляции, статистического анализа бинарных отношений (ранжировок, разбиений, толерантностей), параметрические и непараметрические методы обработки результатов парных и множественных сравнений. Теория люсианов (последовательностей независимых испытаний Бернулли) развита в асимптотике растущей размерности.

Статистика объектов нечисловой природы как самостоятельный раздел прикладной математической статистики выделена в монографии [7]. Обзору ее основных направлений посвящен, например, сборник [8]. Ей посвящен раздел в энциклопедии [2].

Статистика интервальных данных (СИД) - раздел статистики объектов нечисловой природы, в котором элементами выборки являются интервалы в R, в частности, порожденные наложением ошибок измерения на значения случайных величин. СИД входит в теорию устойчивости (робастности) статистических процедур (см. [7]) и примыкает к интервальной математике (см. [9]). В СИД изучены проблемы регрессионного анализа, планирования эксперимента, сравнения альтернатив и принятия решений в условиях интервальной неопределенности и др. (см.[10-13]).

Развиты асимптотические методы статистического анализа интервальных данных при больших объемах выборок и малых погрешностях измерений. В отличие от классической математической статистики, сначала устремляется к бесконечности объем выборки и только потом - уменьшаются до нуля погрешности. Разработана общая схема исследования (см. [14]), включающая расчет двух основных характеристик СИД - н о т н ы (максимально возможного отклонения статистики, вызванного интервальностью исходных данных) и   р а ц и о н а л ь н о г о    о б ъ е м а    в ы б о р к и (превышение которого не дает существенного повышения точности оценивания и статистических выводов, связанных с проверкой гипотез). Она применена к оцениванию математического ожидания и дисперсии, медианы и коэффициента вариации, параметров гамма-распределения в ГОСТ 11.011-83 [15] и характеристик аддитивных статистик, для проверки гипотез о параметрах нормального распределения, в т.ч. с помощью критерия Стьюдента, а также гипотезы однородности двух выборок по критерию Смирнова, и т.д.. Разработаны подходы СИД в основных постановках регрессионного, дискриминантного и кластерного анализов (см. [16]).

Страницы: 1, 2, 3