А <=> В или А => B & B =>A.

Для преобразования суждений важны следующие законы:

1) ??А <=> A закон двойного отрицания;

2) ?(A&B) <=> ?A V ?B законы де Моргана;

3) ?(AVB) <=> ?A & ?B

4) A => B <=> ?A V B замена импликации.

Для построения высказываний о всеобщности и о существовании вводятся операции связывания кванторами (или "навешивания кванторов").

Выражение "для всех Х" ("для любого Х") называется КВАНТОРОМ ВСЕОБЩНОСТИ и обозначается символом: ?Х.

Выражение "существует Х такое, что..." называется КВАНТОРОМ СУЩЕСТВОВАНИЯ и обозначается символом: ?Х.

Выражение "существует точно одно Х такое, что..." называется КВАНТОРОМ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ и обозначается символом: ?! Х.

Пример: Высказывание (суждение) "Ты любишь потому, что ты любишь. Не существует причин, чтобы любить." (Экзюпери) можно записать в виде:

А => А. ??В.

где A - "ты любишь", В - "причины любви".

Исчисление предикатов расширяет язык исчисления высказываний так, что мир оказывается, состоящим из объектов, отношений и свойств.

Логику предикатов можно рассматривать как компоненту естественного языка, имеющую в соответствии со сложностью синтаксических правил иерархическую структуру, которую образуют предикаты первого порядка, второго и так далее. Для логики предикатов определено множество значений и на его основе определены слова как последовательности знаков. Функцией языка предикатов является задание слов двух типов:

1. Слова, задающие сущности изучаемого мира.

2. Слова, задающие атрибуты / свойства этих сущностей, а также их поведение и отношения.

Первый тип слов называется термами, второй - предикатами.

Некие сущности и переменные определяются упорядоченными последовательностями конечной длины из букв и символов, исключая зарезервированные. Константы и переменные определяют отдельные объекты рассматриваемого мира. Последовательность из n констант или переменных (1 n < ), заключенная в круглые скобки, следующие за символом функции, имя которой задано некоторой конечной последовательностью букв, называется функцией.

Например, функция f(x, y) принимает некоторые значения, которые определяются значениями констант и переменных (аргументов функции), содержащимися под знаком функции. Эти значения, так же как и аргументы, являются некоторыми сущностями рассматриваемого мира. Поэтому все они объединяются общим названием терм (константы, переменные, функции).

Атомарным предикатом (атомом) называется последовательность из n (1 n <) термов, заключенных в круглые скобки, следующие за предикатным символом, имя которого выражается конечной последовательностью букв. Предикат принимает одно из двух значений true или false в соответствии со значениями, входящих в него термов.

Предикат Нераспространенное простое предложение

Из атомов с помощью, выполняющих функции союзов, символов составляются логические формулы, соответствующие сложным предложениям. В логике предикатов используются два класса символов. Первый класс соответствует союзам и включает операции дизъюнкции, конъюнкции, отрицания, импликации и эквивалентности.

Символы первого класса позволяют определять новый составной предикат, используя уже определенные предикаты. Различие между символами первого класса лежит в правилах, в соответствии с которыми определяются значения истинности или ложности составного предиката в зависимости от истинности или ложности элементарных предикатов. Символы и , вообще говоря избыточны так, как:

но используются т.к. эквивалентен фразе «Если А, то В», а - «А и В эквивалентны».

В качестве символов второго класса используются и . Эти символы называются кванторами общности и существования, соответственно. Переменная, которая квантифицирована, т.е. к ней применен один из кванторов , называется связанной. Квантор общности является обобщением, аналогом конъюнкции, а квантор существования - обобщением, аналогом дизъюнкции на произвольное, не обязательно конечное множество.

Действительно, пусть Тогда для любого предиката U выполняется:

Аналогом законов Де Моргана для кванторов являются:

Таким образом, чтобы найти отрицание выражения, начинающегося с кванторов, надо каждый квантор заменить на его двойственный и перенести знак отрицания за кванторы. Отсюда:

Функция, двойственная к данной, есть функция, в которой взяты отрицания от всех операций и от всех операндов, и обозначается .

Пример:

.

Общезначимое равенство между функциями влечёт общезначимое равенство между двойственными функциями. Из этого следует, что принцип двойственности вдвое сокращает время доказательства теорем: вместе с каждой теоремой мы автоматически доказываем двойственную ей.

3.4 Специфика антонимии в математическом тексте

В связи с информацией двух предыдущих подразделов, антонимов в математическом тексте гораздо меньше, чем в художественном тексте и их основная функция - это построение отрицания. Причем выражение отрицания проявляется не только на уровне слов, но и на уровне предложений и даже целых абзацев. Например, антонимы на уровне слов: рациональный - иррациональный, алгебраический - трансцендентный, и т.д. Антонимы, на уровне предложений: Функция f(x), определенная на множествеE, называется ограниченной, если существует число M, что для любого x из E справедливо . - Функция f(x), определенная на множествеE, называется неограниченной, если для любого положительного числа M, существует x из E такой, что . Антонимы на уровне абзацев обычно представляют собой прямую и противоположную теоремы. Прямая и противоположная теоремы, хоть и являются антонимичными, но они абсолютно равносильны между собой, поэтому в данном случае, исходя из смысла теорем, имеет смысл говорить о синонимии антонимов.

При анализе словарей [44-53] были произведены следующие выводы:

1. В английском и русском языках присутствует больше всего антонимов образованных с помощью частицы “не” (“non”) для прилагательных и существительных, для глаголов частицы “не” и “not”.

2. Больше всего антонимов наблюдается среди прилагательных (в русском и английском языках) и существительных, выступающих в роли определения (в английском языке).

3. Антонимичные пары глаголов одинаковы для всех рассмотренных отраслей математики. Наиболее часто из них употребляются является-не является, принадлежит - не принадлежит, входит - не входит, существует - не существует. Особенностью пары принадлежит - не принадлежит, является тот факт, что она представлена не в виде слов, а специальными математическими знаками ( соответственно).

4. Наиболее часто встречающаяся антонимичная пара прилагательных: любой - единственный специфична только для математических текстов. В художественных текстах и речи антонимом любой является никакой. Пара любой - единственный всегда представлена неявно и обозначается с помощью кванторов всеобщности () и существования ().

В математическом тексте присутствуют как градуальные (отрицательный - неположительный - неотрицательный - положительный), так и бинарные антонимы (непрерывный - разрывный, константа - переменная).

В математическом тексте сильно проявлены контекстуальные антонимы. Разберем на примерах. Антоним простой (когда речь идет о натуральных числах) - составной, но антонимами пара простой-составной может являться только, когда речь идет о натуральных числах больше 1, в противном случае антонимом к простому является составной или 1 т.е. сразу два случая и только в процессе исследования выясняется, какой случай подходит. Приведем еще один пример. Когда речь идет о евклидовой плоскости, то две различные прямые могут быть либо параллельными, либо пересекающимися. В проективной плоскости понятия параллельной прямой нет, и так как любые две прямые пересекаются, то и нет смысла употреблять слово пересекающиеся. В случае если не известно являются ли прямые различными, то возникает еще один случай - совпадающиеся прямые.

Еще одной особенностью антонимов в математическом тексте, является синонимия антонимов. Например, возьмем две пары антонимов: открытый - неоткрытый, замкнутый - незамкнутый. Слова незамкнутый и неоткрытый по своему значению обозначают одно и тоже, поэтому являются синонимами. И получается следующая шкала: открытый - неоткрытый (незамкнутый) - замкнутый. А пару неоткрытый - незамкнутый можно рассматривать как конверсив.

Следующей особенность антонимии является тот факт, что в математических текстах распространен эффект, подобный антонимам многозначных слов, но имеющий совсем другую структуру. Например, антонимами компактный выступают неограниченный и незамкнутый. Компактный означает замкнутый и ограниченный. Если множество незамкнутое или неограниченное, то оно не является компактом. В этом проявляется отличие от многозначных слов: слово выражает все свои значения одновременно. Аналогично слову компактный, следующие слова так же имеют несколько антонимов: устойчивое, липшицева, изоморфный, гомеоморфный, эквивалентность и др.

Антонимия предложений, абзацев и слов, со составным логическим смыслом, подчиняется простым законам логики.

Как уже упоминалось выше, единственная функция антонимов в математическом тексте - это построение отрицания высказываний и суждений. Необходимость в этом возникает в следующих случаях:

1. Построение контр-примеров. Если у автора есть гипотеза, которую довольно сложно доказать можно построить отрицание этой гипотезы и найти пример удовлетворяющий отрицанию. Перечислим самые известные примеры построенные таким образом: множество лебеговой меры нуль, обладающей мощностью континуума (множество Кантора); непрерывная функция нигде не дифференцируемая (функция Неймана); всюду разрывная функция Дирехле.

2. Доказательство противоположной теоремы вместо простой.

3. Доказательство теоремы от противного. Примеры можно найти в любом учебнике школьной математики, математического анализа и алгебры.

4. Доказательство рассмотрения всевозможных случаев. В данном случае используются градуальные антонимы. Примеры можно найти в геометрии. Простейший пример теорема Пика.

ВЫВОДЫ ПО ТРЕТЬЕЙ ГЛАВЕ

1. Антонимы в логической части математического текста выступают только как средство выражения категории “противоположность”. Согласно закону исключения третьего, большинство антонимов являются бинарными.

2. Все антонимы являются ситуационными, существование противоположности зависит не только от рассматриваемой конкретной теории или задачи, но и от вида логики используемой в данном контексте.

3. Большинство антонимов выражают отрицание, которое строится в соответствие законов де Моргана.

4. С лексической точки зрения большинство антонимов -- прилагательные. Наиболее часто при образовании антонимов используется частица не или приставка не- (not и non-).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате исследования англоязычного математического текста можно сделать вывод что, антонимия наблюдается, как среди математических терминов, так и среди общелитературной лексики. Для антонимии в математической лексике характерны следующие черты:

1. наиболее часто антонимия наблюдается среди прилагательных, и, как правило, антонимы в данном случае образуются с помощью приставок a-, anti-, non-, dis-, il-, im-, in-, un-, ir- и суффиксов -less, и иногда -ful;

2. для глаголов образование антонимов наблюдается только с помощью частицы not или приставки non-, разнокорневых антонимов среди глаголов нет;

3. среди существительных антонимов практически не наблюдается;

4. антонимы в математической лексике выражают противоположность, и, ввиду того, что обычно в математике используется классическая логика, использующая закон исключения третьего, антонимы выражают не просто противоположность, а отрицание, хотя при этом антонимы являются неинформативными;

5. как правило, антонимы среди прилагательных имеют сложное логическое строение, их семантика выражается с помощью конъюнкции, а противоположное высказывание -- раскрывается с помощью дизъюнкции; поэтому для прилагательных характерно существование нескольких несинонимичных антонимов;

6. для большинства математических антонимов характерно существование эквиваленций в их семантике (иногда в целом, иногда при рассмотрении конкретных математических структур), поэтому для их отрицаний так же характерна эквивалентность, хотя эквивалентность проявляется на уровне математической теории, а не на уровне семантики слова;

7. для некоторых антонимичных пар характерна контекстуальность: в одном контексте (в определенной математической структуре) слово может иметь антоним, а в другом контексте (в другой математической структуре) слово уже не обладает антонимом; иногда проверка существования антонима требует математического исследования;

8. при использовании неклассической логики (т.е. в конструктивной и интуиционистской математике) многие антонимичные пары теряют свои эквиваленции, либо приобретают новые.

Таким образом для антонимов в подъязыке математики характерны особенности, присущие только подъязыку математики.

Анализируя литературу по исследованию антонимов, можно видеть, что данные особенности не изучались вовсе, хотя они имеют значение для

· процесса автоматизации доказательства и верификации теорем, как на уровне двустороннего перевода с естественного языка на формальный язык математической логики, так и на уровне двустороннего перевода на формализированный язык программы;

· построения баз данных математических знаний;

· автоматизации поиска непротиворечивости и полноты аксиоматики математической теории и т.д.

· Просматривая труды конференций в области искусственного интеллекта, можно заметить возрастающий интерес к вышеперечисленным проблемам, и в ближайшем будущем следует ожидать работ по данной тематике.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1 Bibliography of Antonymy (English Sources)// http://www.f.waseda.jp/vicky/complexica/biblio.html (май 2008)

2 Bibliography of Antonymy Sources written in languages other than English// http://www.f.waseda.jp/vicky/complexica/nonEnglish.html (май 2008)

3 Степанова Л.А. Изучение экономического сознания методом семантического дифференциала/ Л.А. Степанова,-- Социологические исследования. 1992. № 8. С. 50--63.

4 Математика в социологии: моделирование и обработка информации. М.: Мир, 1977.--500с.

5 Осгуд Ч., Приложение методики семантического дифференциала к исследованиям по эстетике и смежным проблемам/Ч. Осгуд, Дж. Суси, П. Танненбаум // Семиотика и искусствометрия. М.: Мир, 1972.

6 Osgood, C.E., Suci, G., & Tannenbaum, P. (1957) The measurement of meaning. Urbana, IL: University of Illinois Press

7 Волохонский В.Л., Влияние пространственно-временных эффектов на результаты семантического дифференциала / Сборник лучших работ выпускников факультета психологии СПбГУ 2002 года. СПб.: Издательство С.-Петербургского университета, 2003. - С. 4-10.

8 Петренко В.Ф., Психосемантика сознания/ В.Ф. Петренко,-- М.: МГУ, 1987. 207 с.

9 Комиссаров В.Н., Слово о переводе/ В.Н. Комиссаров,-- М. 1973-211с.

10 Микушевич В., Вопросы теории художественного перевода/ В. Микушевич,-- М., 1970.--428с.

11 K. Vershinin, A. Paskevich., ForTheL -- the Language of Formal Theories// II Information Theories and Applications. - 2000. - V. 7-3. - P. 121-127.

12 A. Degtyarev, A. Lyaletski, M. Morokhovets, Evidence Algorithm and Sequent Logical Inference Search // Lecture Notes in Artificial Intelligence. - 1999. - V. 1705. - P. 44-61.

13 A. Degtyarev, A. Lyaletski, M. Morokhovets. On the EA-Style Integrated Processing of Self-Contained Mathematical Texts // Symbolic Computation and Automated Reasoning (Proc. of CALCULEMUS-2000 Symposium). - A.K. Peters, Ltd., USA - 2001. - P.126-141.

14 K. Verchinine, A. Degtyarev, A. Lyaletski, A. Paskevich. SAD, a System for Automated Deduction: a Current State // Proceedings of the Workshop on 35 Years of Automating Mathematics. - Edinburgh, Great Britain. - 2002. - 12p.

15 Z. Aselderov, K. Verchinine, A. Degtyarev, A. Lyaletski, A. Paskevich, A.Pavlov. Linguistic Tools and Deductive Technique of the System for Automated Deduction // Proceedings of the 3rd International Workshop on the Implementation of Logics. - Tbilisi, Georgia. - 2002. - P. 21-24.

16 Асельдеров З.М., Особенности обработки математических текстов в Системе Автоматизированной Дедукции (САД)/ З.М. Асельдеров, К.П. Вершинин, А.И. Дегтярев, А.И. Лялецкий, А.Ю. Паскевич// Искусственный Интеллект. - 2002. - Т. 4 (труды Третьей Международной Конференции «Искусственный Интеллект»). - С. 164-171.

17 Фролова И.Т., Философский словарь/И.Т. Фролова,-- М. Политиздат, 1991. --371с.

18 Кондаков Н.И., Логический словарь справочник/Н.И. Кондаков,-- М. Наука, 1975. 486с.

19 Ярцева В.Н., Лингвистический энциклопедический словарь/В.Н. Ярцева,-- М. Советская энциклопедия, 1995. 576с.

20 Львов М.Р., Словарь антонимов русского языка/М.Р. Львов,-- М. Рус.язык, 1984. - 896с.

21 Гегель Г.Ф.К., Наука о логике/ Г.Ф.К. Гегель,-- М. Наука, 1971.-Т.2, 642с.

22 Булаховский Л.А. Введение в языкознание/Л.А. Булаховский,--М. Политиздат, 1953.-Ч.2, 458с.

23 Миллер Е.Н. Межчастеречная антонимия // Филологические науки. 1981, №7.

24 Иванова В.А., Антонимия в системе языка/В.А. Иванова,-- Кишинев, 1982.

25 Новикова Л. А. Семантика русского языка/Л.А. Новикова,-- М.,1982.

26 Комиссаров В.Н. Словарь антонимов современного английского языка/ В.Н. Комиссаров,-- М. Изд - во “Международные отношения”, 1964. --538с.

27 Арнольд И.В., Стилистика. Современный английский язык: Учебник для вузов. - 5-е изд., испр. и доп./И.В. Арнольд, - М.: Флинта: Наука, 2002.

28 Новикова Л.А. Антонимия в русском языке: семантический анализ противоположностей в лексике/Л.А. Новиков,- М., 1973.

29 Шубина О.И. Условия актуализации антонимических отношений.// Систематические взаимодействия языковых единиц. Л., 1985. -324с.

30 Мантуров О.В., Толковый словарь математических терминов: пособие для учителей/ О.В. Мантуров. -- М.: Просвещение, 1965. - 539с.

31 Александров П.С., Англо-русский и русско-английский словари математических терминов/ под ред. П.С. Александрова -- М.: Мир, 1994. -- 414с.

32 Глушко М.М., Учебный словарь-минимум для студентов-математиков/ англо-русский словарь./ М.М. Глушко - М.: МГУ, 1976.- 151с.

33 Клековская И.Ф., Поурочный французко-русский словарь по математике: учеб. Пособие/И.Ф. Клековская, А.С. Захарова,- М.: МГПИ, 1972.-33с.

34 Тер-Микасянц З.Т., Частотный словарь математической лексики/ на базе русского языка/З.Т. Тер-Микасянц - Ереван. гос. ун-т, 1973.-68с.

35 Мансуров М.П., Математический частотный словарь немецкого языка/ М.П. Мансуров - Свердловск. гос. пед. ин-т, 1971.-55с.

36 Гальперин И.Р., Очерки по стилистике английского языка/ И.Р. Гальперин.-- М. Издательство литературы на иностранных языках, 1958.--448с.

37 Сосинский А.Б., Как написать математическую статью по-английски/ Сосинский А.Б. -- М.: Факториал-пресс, 2000. -- 112с.

38 Webster's Third New International Dictionary, Webster 3. 1961.

39 Арнольд И. В. Стилистика: Современный английский язык. М., 2002.

40 Глушко М.М., Функциональный стиль общественного языка и методы его исследования/М.М. Глушко -- М., 1974. -252с.

41 Реформатский А.А. Введение в языкознание/ А.А. Реформатский -- М., 1955.-- 300с.

42 Гореликова С.Н. Природа термина и некоторые особенности терминообразования в английском языке // Вестник ОГУ. 2002. №6. С. 42-55.

43 Wiener N. Cybernetics of Control and Communication in the Animal and the Machine. N. Y. - Ldn., 1961--346p.

44 A. J. Lohwater's Russian-English Dictionary of the Mathematical Sciences. - Second Edition, Revised and Expanded. Edited by R. P. Boas. - American Mathematical Society. Providence, Rhode Island.

45 Th. H. Sidebotham, The A to Z of Mathematics. A Basic Guide., New Zeland, Wiley-Interscience, 2002. - 483 pp.

46 Encyclopedic Dictionary of Mathematics, ed. Kiyosi Ito, Vol. 1, The MIT Press, Cambridge, 1993. - 2171pp.

47 Encyclopedic Dictionary of Mathematics, ed. Kiyosi Ito, Vol. 2, The MIT Press, Cambridge, 1993. - 2171pp.

48 Большой энциклопедический словарь. - М.: Большая российская энциклопедия, 1998.

49 Кушнир А., Математическая энциклопедия. -- М.: ООО «Астарта»,

50 Математика в понятиях, определениях и терминах Ч.1./ Под ред. Сабинина Л.В.. - М.: Просвещение, 1978.

51 Математика в понятиях, определениях и терминах Ч.2./ Под ред. Сабинина Л.В.. - М.: Просвещение, 1982.

52 Математический энциклопедический словарь / Прохоров Ю.В. - М.,1988.

53 Математическая энциклопедия /Виноградов И.М., т.5 - М.: Советская энциклопедия, 1985.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10