Величину ?1 найдем из условия равенства значений Lж(?1)=Lисх(?1). Это
соотношение приводит к следующему выражению:
В последнем выражении обозначено:
?'=0.1w2
L'(?')=50 дБ
L'(?2)=10 дБ
L(?3p)=L(0.476)=21,18 дБ
L(?2)=L(1.2)=-35,743 дБ
Последние две величины находятся из выражения для Lисх(w).
Найденное по формуле значение ?1=0.098
ЛАЧХ корректирующего устройства с характеристикой Lk(w) соответствует функция:
где:
Общая передаточная функция разомкнутой системы с корректирующим звеном последовательного типа имеет вид:
Далее воспользуемся функцией zpk(z, р, К), где z и р - векторы из нулей и полюсов, a Kd - обобщенный коэффициент передачи, sys - любое имя присваиваемое модели. Тогда запись в системе Matlab примет вид:
sys1=zpk([-1/t2k -1/t3k],[0 -1/t1 -1/t2 -1/t3 -1/t1k -1/t4k],kd)
Zero/pole/gain:
58.2 (s+2.5) (s+0.4762)
-------------------------------------------------
s (s+7.143) (s+4.167) (s+25) (s+0.4762) (s+0.097)
Рис. 1.6
6. Для нахождения переходных характеристик замкнутой системы с корректирующим звеном предварительно сформируем модель в пространстве состояний. Передаточная функция замкнутой системы имеет вид:
Для нахождения Ф(s) воспользуемся следующей последовательностью команд:
>>sys1=zpk([-1/t2k -1/t3k],[0 -1/t1 -1/t2 -1/t3 -1/t1k -1/t4k],kd)
Zam_ck=inv(l+sysl)*sysl - находится передаточная функция замкнутой системы. (Не оптимальная форма т.к. при такой последовательности команд не производится упрощение за счет сокращения одинаковых элементов числителя и знаменателя. В тоже время на результат дальнейшего расчета это не влияет).
>>Zam_ck=inv(1+sys1)*sys1
Переходная характеристика (рис. 1.7 ) находится с помощью функций: 0,05
Из рассмотрения рис. 1.7 видно, что параметры по заданию выполняются.
Рис 1.7
Для устранения неоптимальности записи в Zam_ck=inv(l+sysl)*sysl можно в диалоговом режиме произвести новую запись zpk(.) - сокращая одинаковые элементы числителя и знаменателя в Zam_ck.
2.Исследование линейной импульсной системы автоматического управления
Задание:
1) Найти передаточные функции импульсной САУ: W*(z) разомкнутой системы, Ф*(z) - замкнутой системы, Фе*(z) - системы по ошибке. Параметры Т, Т1, ?1, К0, ? входят в выражения передаточных функций в общем виде, т. е. в буквенном виде. Знак «*» будет относиться к передаточным функциям импульсной системы.
2) Найти интервал изменения коэффициента передачи К0, при котором система будет устойчива: K0”?K0?K'. Для дальнейших исследований выбрать значение K0=0.5K0'
3) Построить графики логарифмических частотных характеристик разомкнутой импульсной системы L*(?) и ?*(?) при заданных значениях Т, Т1, ?1, ? и выбранном K0. По графикам определить запасы устойчивости системы по модулю ?L* и фазе ??*.
4) Определить ошибку системы по скорости еск при входном воздействии v(t)=t (скачок по скорости), а также первые два коэффициента ошибок с0 и с1.
5) Вычислить переходной процесс в системе при воздействии v(t)=1[t] (скачок по положению.
Исходные данные:
Таблица 2. Анализ одноконтурного замкнутого импульса
Номер
варианта
|
?
|
T
|
T1
|
?1
|
|
10
|
0.3
|
0.1
|
0.1
|
0,05
|
|
|
Анализируется одноконтурная замкнутая импульсная САУ, состоящая из непрерывной части (НЧ) и импульсного элемента (ИЭ), формирующего прямоугольные импульсы длительностью ?=?Т, где Т -период дискретизации, 0???1. Исходные данные для расчетов приведены в таблице 2. Передаточная функция непрерывной части имеет вид:
Импульсный элемент представляется в виде идеального ключа и формирующего устройства с передаточной функцией:
Структурная схема системы представлена на рис. 2.1. В табл. 2 Т, Т1, ? -постоянные времени имеют размерность секунды, К0 - коэффициент передачи НЧ имеет размерность сек-1 и выбирается далее.
Рис 2.1 Структурная схема линейной импульсной системы
1. Для нахождения передаточной функции разомкнутой импульсной САУ W*(z) находим передаточную функцию приведенной непрерывной части:
К W(s) применяется Z-преобразование и получается передаточная функция импульсной системы W*(z) = Z{W (s)}. Преобразуем W0(s) к виду:
Представим W0(s) в виде суммы двух слагаемых
Применим к W0(s) Z-преобразование
Полученную передаточную функцию в конечном виде можно представить следующим образом:
где обозначено
Передаточные функции замкнутой системы находятся по выражениям:
2. Устойчивость системы определяется корнями характеристического уравнения замкнутой системы D*(z) = l + W*(z) = 0, которое для нашего случая будет иметь вид:
В соответствии с алгебраическим критерием замкнутая система будет устойчива при выполнении неравенств
В неравенстве при известных значениях ?, Т, ?1, Т1 входит величина К0. Таким образом, можно выделить отрезок значений К0"<К0 <К0, при которых система будет устойчива и далее принять К0 = 0.5К'0. Условия устойчивости будут:
После преобразований и возврата к старым переменным получим:
Получим 0<К0<7,112. Таким образом, принимаем К0=0.5 К0'=3,56.
1. Для построения частотных и логарифмических частотных характеристик в выражении W* (z) делаем замену переменной
В результате этого получим частотную характеристику W*(j?) и далее логарифмическую амплитудно-частотную характеристику L*(?) = 20Lg|W*(j?)| и фазочастотную характеристику ?*(?)= argW*(j?), графики которых строятся в логарифмическом масштабе.
Передаточная функция разомкнутой системы имеет вид
Тогда можно воспользоваться следующей последовательностью команд в MATLAB:
>> sys=tf([0.231 0.085],[1 -(1/2.71+1) 1/2.71],1)
Transfer function:
0.231 z + 0.085
---------------------
z^2 - 1.369 z + 0.369
>> sys_tr=d2c(sys,'tustin')
Transfer function:
-0.05332 s^2 - 0.1242 s + 0.4616
--------------------------------
s^2 + 0.9218 s + 2.047e-016
(опция 'tustin' предназначена для преобразования )
Получаем выражение:
где параметры g и f видны из вышеприведенного выражения.
Рис 2.2
4. Рассматриваемая система для всех вариантов является астатической с астатизмом первого порядка и имеет следующую передаточную функцию:
В силу астатизма первого порядка в такой системе статическая ошибка всегда равна нулю, а скоростная еск вычисляется по формуле:
и следовательно, еск=1,999.
Вычислим коэффициенты ошибок. Величина С0 =0, а коэффициент ошибки
Где передаточная функция системы по ошибке.
Тогда получим производную:
Подставив в последнее выражение найденные ранее значения и z=1, окончательно получим С1=1,999.
5. При входном воздействии вида v(k) = l[k] переходный процесс в замкнутой системе можно вычислить с помощью моделирования импульсной системы в Matlab. Для этого необходимо задать передаточную функцию непрерывной части системы в tf- или zpk -форме, преобразовать ее в дискретную с помощью оператора c2d при заданном времени дискретизации T, а затем построить переходной процесс системы оператором step. Так же можно построить и логарифмические частотные характеристики импульсной системы -bode. Если задана передаточная функция замкнутой системы в виде:
и периодом дискретизации ?T, то получим
>> w0=tf([0.3 1 0],[0.3 1 1.411]) Transfer function:
0.1 s^2 + s
-------------------
0.1 s^2 + s + 3.738
0.2
>> w1=c2d(w0,0.24)
Transfer function:
z^2 - 0.8801 z - 0.1199
------------------------
z^2 - 0.4001 z + 0.09072
Sampling time: 0.24
>> step(W1)
Рис 2.3
На рис.2.4 представлена диаграмма Боде исследуемой дискретной системы с отмеченными на ней запасами устойчивости по амплитуде и фазе.
Рис. 2.4
3.Исследование нелинейной непрерывной системы автоматического управления
Задание:
Используя метод гармонической линеаризации нелинейного элемента, определить на основе частотного способа возможность возникновения автоколебаний в замкнутой системе, их устойчивость, амплитуду и частоту.
Исходные данные:
Структура нелинейной САУ представлена на рис. 3.1, где НЭ-- нелинейный элемент, W(s) - передаточная функция непрерывной линейной части системы.
Рис 3.1
1. Передаточная функция W0(s) берется из пункта 1, как передаточная функция скорректированной системы с соответствующими числовыми коэффициентами. Нелинейный элемент НЭ имеет нелинейную характеристику u=f(e) которая для всех заданий является характеристикой идеального реле:
где с=2.
Приближенная передаточная функция нелинейного элемента для случая идеальное реле имеет вид:
где a - амплитуда искомого периодического режима, а>0.
2. На комплексной плоскости строим характеристику:
Это прямая, совпадающая с отрицательным отрезком действительной оси, вдоль которой идет оцифровка по амплитуде а0 = 0, a1, a2, …. В том же масштабе на комплексной плоскости строится АФЧХ разомкнутой системы W0(jw) при изменении частоты от 0 до + inf.
Передаточная функция скорректированной системы:
На рис.3.2 (выделен интересующий фрагмент) пунктиром отмечена АФЧХ
рис.3.2
Точка пересечения кривых (-0,165; -0j).
В точке пересечения АФЧХ W0(jw) и прямой по графику W(jw) находятся частота искомого периодического (гармонического) режима w=w*, а на прямой в точке пересечения его амплитуда а = а*. Тогда в системе существуют периодические колебания:
Приравнивая Im(W0(jw))=0 находим w*=1,065 (функция fsolve). При найденном значении частоты получим Re(W0(jw*))=-1,3. Из условия Re(W0(jw*))= находим а*=0.41.
Для определения устойчивости периодического режима можно воспользоваться следующим правилом: если при увеличении амплитуды а вдоль кривой пересечение АФЧХ W0(jw) происходит «изнутри наружу», то такой периодический режим будет устойчивым, т.е. в системе существуют автоколебания с частотой w* и амплитудой а* .
Таким образом, периодический режим будет устойчивым.
Литература
1. Теория автоматического управления. Конспект лекций: В 2ч. Ч.1:
Линейные непрерывные системы : учеб.-метод. Пособие /В.П.Кузнецов,С.В.Лукьянец,М.А.Крупская.-Мн.:БГУИРб2007.-132с.
2. Кузнецов В.П. Линейные непрерывные системы: Тексты лекций по курсу: Теория автоматического управления.-Мн.:БГУИР,1995.-180с.
3. Электронный учебно-методический комплекс: Теория автоматического управления. Ч.1: Линейные непрерывные системы./ В.П. Кузнецов, С.В. Лукьянец, М.А. Крупская- Мн.:БГУИРб2006.
4. Электронный учебно-методический комплекс: Теория автоматического управления. Ч.2:Дискретные,нелинейные, оптимальные и адаптивные системы /С.В. Лукьянец, А.Т.Доманов,В.П.Кузнецов.М.А.Крупская-Мн.:БГУИР,2007.
5. Кузнецов А.П. Линейные импульсные системы: Математическое описание: Тексты лекций по курсу «Теория автоматического управления»б-Мн.:БГУИР,1996.-70с.
Страницы: 1, 2
|