Преобразовав выражение (2.3), получим:

откуда по методу наименьших квадратов найдем постоянную времени:

Таким образом динамическая характеристика первого порядка без запаздывания будет иметь вид:

Вычислим аналитические значения функции, их отклонения от экспериментальных значений, а также квадраты отклонений и сведем их в

Таблица 7

Результаты расчета

Далее находим сумму квадратов отклонений:

Динамическая модель объекта первого порядка без запаздывания является наименее точной, поэтому ее применение не целесообразно при моделировании динамики объекта. Ниже приведен проверочный расчет динамической модели объекта первого порядка без запаздыванием и модели второго порядка без запаздыванием на ЭВМ в системе MathCad.

2.3 Модель объекта первого порядка с запаздыванием

Динамическая модель первого порядка с запаздыванием представляет собой неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка:

(2.4)

где T - постоянная времени объекта;

k - коэффициент передачи при 50% номинального режима;

- время запаздывания.

Решением уравнения (2.1) будет экспоненциальная зависимость сигнала на выходе от времени:

(2.5)

где y0=0 - начальное состояние выхода объекта;

k.x=yуст.=10 - установившееся состояние выхода объекта.

Проведем преобразования, аналогичные модели без запаздывания

или запишем в виде системы :

(2.6)

где берется из табл. 7.

Так как , и , то все уравнения содержащие эти элементы в расчете участвовать не будут.

Решим систему (2.6) методом наименьших квадратов. Составим матрицы:

- искомых величин:

- правой части системы:

- левой части системы:

- произведение

- произведение

Таким образом получили матричное уравнение:

Находим главный определитель:

Подставляя матрицу поочередно в первый и второй столбец матрицы , находим вспомогательные определители:

Находим постоянную времени и время задержки:

Таким образом динамическая характеристика первого порядка с запаздыванием будет иметь вид:

Вычислим аналитические значения функции, их отклонения от экспериментальных значений, а также квадраты отклонений, причем значения функции при учитывать не будем. Результаты сведем в табл. 8.

Таблица 8

Результаты расчета

Далее находим сумму квадратов отклонений:

.

Так как сумма квадратов отклонений у модели с запаздыванием меньше, чем у модели без запаздывания, то ее использование позволяет более точно описывать протекание переходного процесса.

Расчет на ЭВМ моделей более высоких порядков показывает, что наименьшее значение суммы квадратов отклонений будет у модели второго порядка. Поэтому в дальнейших расчетах будем выполнять все действия именно для модели второго порядка.

Ниже приведен проверочный расчет динамической модели объекта первого порядка с запаздыванием и модели второго порядка с запаздыванием на ЭВМ в системе MathCad.

3. Построение математической модели

Передаточная характеристика объекта представляет собой отношение выходной величины к входной величине.

Передаточная характеристика объекта второго порядка с запаздыванием отличается от характеристики первого порядка наличием в знаменателе дроби квадрата суммы:

После подстановки известных численных значений и всех преобразований, получим:

Приведем полученное выражение к нормальной системе дифференциальных уравнений первого порядка и построим математическую модель объекта на ЭВМ в системе MathCad.

4. Аналитическое решение

Для отыскания аналитического решения решим характеристическое уравнение:

0,931 р2 + 1,93 р + 1 = 0 (4.1)

p1 = -1,781; p2 = - 0,290 - корни характеристического уравнения.

Ввиду того, что корни характеристического уравнения кратные подставим их в выражение вида:

u(t) = kx . [1 - [1 + p . (t - ф) ] . e p(t - ф) ] (4.2)

где к - коэффициент передачи при 50% номинального режима

р - корни характеристического уравнения (4.3)

t - соответствующий момент времени

ф - время запаздывания

Подставляя соответствующие значения к, р, t, ф получим график переходного процесса в объекте.

Ввиду сложности расчеты производятся на ПЭВМ (см. распечатку)

5. Частотные характеристики

Частотные характеристики объекта связаны с его передаточной функцией следующим образом:

где к = к (50%) = 0.428- коэффициент передачи при 50%:

Т = 0.965- постоянная времени:

= 0.715- время запаздывания.

е-фp = cos( . ) - j . sin( . ).

Заменив, в выражении для объекта второго порядка величину p на мнимую величину j, получим комплексную функцию W(j).

Преобразовав выражение (4.1) получим, что:

Обозначим в формуле (5.2) :

- Вещественная частотная

характеристика системы

- мнимая частотная

частотная характеристика системы

Подставив R() и I() в уравнение (5.2):

W(j) = R() + j .I()

Составим соотношения, связывающие между собой частотные характеристики :

где А() - амплитудно-частотная характеристика

L() - логарифмическая амплитудно-частотная характеристика.

F() - фазочастотная характеристика

По формулам (5.3) - (5.5) находим значения для построения частотных характеристик. Эти значения сведены в таблицу 5.1 стр. 30.

Ниже приведен расчет частотных характеристик объекта на ЭВМ в системе MathCAD . Расчет произведен в диапазоне частот 0...2 c-1 для 100 точек. Также представлены графики при следующих характеристик:

- амплитудно-частотной;

- логарифмической амплитудно-частотной;

- фазо-частотной;

- амплитудно-фазо-частотной.

Расчет расширенных частотных характеристик

При расчете расширенных частотных характеристик вместо замены производят замену , где m=0,221 - степень колебательности системы. Введем обозначение:

где

Далее, аналогично обычным частотным характеристикам, задавшись рядом частот, подаваемых на вход объекта, производим расчет расширенной амплитудно-частотной характеристики по формуле:

Затем рассчитываем расширенную фазо-частотную характеристику по формуле:

.

Ниже приведен расчет расширенных частотных характеристик объекта на ЭВМ в системе MathCAD . Расчет произведен в диапазоне частот 0...2 c-1 для 100 точек. Также представлены графики при следующих характеристик:

- расширенной амплитудно-частотной;

- расширенной амплитудно-фазо-частотной.

6. Выбор и расчет параметров настройки регуляторов

Автоматические регуляторы по своим динамическим свойствам подразделяются на линейные и нелинейные. При проектировании наиболее часто применяемых линейных регуляторов используют:

пропорциональный регулятор (П-регулятор);

интегральный регулятор (И-регулятор);

пропорционально-интегральный регулятор (ПИ-регулятор);

дифференциальный регулятор (Д-регулятор);

пропорционально-дифференциальный регулятор (ПД-регулятор);

пропорционально-интегро-дифференциальный регулятор (ПИД-регулятор).

Требования, предъявляемые к регулятору, обусловлены требованиями ко всей системе регулирования: в обеспечении устойчивости замкнутой системы. При проектировании систем стремятся обеспечить их устойчивость с некоторой гарантией, так чтобы изменение параметров в некоторых пределах не могло привести к неустойчивости. Для этой цели используются понятия запасов устойчивости систем автоматического регулирования, вводимых на основе частотного критерия Найквиста:

где - передаточная функция объекта регулирования;

- передаточная функция регулятора.

6.1 Расчет П-регулятора

Передаточная характеристика П-регулятора имеет вид:

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5