2.9.2. Визначення сумарної систематичної похибки вимірювань

При точних вимірюваннях багато які систематичні похибки вилучаються або відповідною постановкою експерименту, або введенням поправок. Як правило, це легше зробити для змінних похибок, які так чи інакше проявляються у вимірювальних сигналах (показах) ЗВТ. Трудніше вилучити постійні систематичні похибки: потрібен аналіз даних про об'єкт, засоби і умови вимірювань, як апріорних, так і одержаних під час експерименту. Це є однією з основних задач при проведенні вимірювань. Методи їх вирішення не достатньо формалізовані і потребують високої метрологічної культури.

Постійні систематичні похибки можна поділити на строго і умовно постійні, причому способи оцінювання і підсумовування для них різні. Для строго постійних складових придатний лише детерміністський підхід і відповідно алгебраїчне та арифметичне підсумовування. Для умовно постійних складових систематичної похибки придатні, залежно від умов, різні квазістатистичні способи підсумовування.

Для визначення систематичної складової повної похибки, інакше кажучи, при підсумовуванні постійних систематичних складових похибки, коли відомі їх значення і знаки, використовують алгебраїчне підсумовування. Це правило є наслідком однієї з основних властивостей математичного сподівання випадкових величин, згідно з яким математичне сподівання суми випадкових величин (похибок) дорівнює сумі математичних сподівань цих випадкових величин (похибок). Ураховуючи, що математичне сподівання повної похибки являє собою її систематичну складову, маємо алгебраїчну суму

де сумарна систематична похибка;

складові систематичної похибки, їх кількість.

Якщо для строго постійних систематичних похибок задані їх допустимі значення (або границі змінювання) , то визначається допустиме значення сумарної систематичної похибки як арифметична сума за модулем допустимих значень складових

.

Величину називають арифметичними границями систематичної похибки.

На практиці нерідко буває відома додаткова інформація про поведінку систематичних похибок, зокрема, відомо, що невилучені систематичні похибки змінюються нерегулярно, залишаючись у границях . Тоді при підсумовуванні такі похибки умовно розглядають як випадкові величини і звичайно вважають, що вони рівномірно розподілені в заданих границях. Це припущення ґрунтується на тому, що для випадкової величини, яка змінюється в заданих границях, рівномірному розподілу відповідає максимальна ентропія (невизначеність). Тому таке припущення є досить обережним і на практиці приводить до реалістичної оцінки похибок.

Зрозуміло, цей умовний прийом не є єдино можливим, проте він досить простий і широко застосовується на практиці. Можна використовувати і "нестатистичні" методи, які базуються, наприклад, на інтервальному аналізі або теорії нечітких множин, проте ці методи не є строго обґрунтованими і містять певні припущення [8].

При квазістатистичному методі границі довірчого інтервалу сумарної невилученої систематичної похибки називають статистичними і знаходять за формулою

(2.22)

де коефіцієнт, що залежить від числа m складових невилученої систематичної похибки і від співвідношення їх границь, а також від довірчої ймовірності P. Формула (2.22) є приблизною, вона одержана шляхом побудови композиції рівномірних розподілів складових на відповідних інтервалах . Значення коефіцієнта для трьох поширених значень P наведено в табл. 2.2.

При значеннях довірчої ймовірності та залежність коефіцієнта від числа складових m незначна, тому рекомендується брати середні значення коефіцієнта : . При залежність коефіцієнта від числа складових m та їх співвідношення істотні, тому при рекомендується брати значення , а при можна уточнювати значення за графіком (наводиться в окремих працях) або за допомогою табл. 2.3.

Таблиця 2.2

Таблиця 2.3

Параметр , який характеризує співвідношення складових невилученої систематичної похибки, дорівнює найменшому із співвідношень границь та , при цьому .

При малому числі складових () після знаходження статистичної границі д необхідно порівняти її з арифметичною границею а і прийняти як остаточну найменшу з двох границь. Слід зазначити, що для малого числа складових арифметичні границі а звичайно незначно перевищують статистичні д -- не більше як на 30 %, що в багатьох випадках цілком припустимо.

Якщо невилучені систематичні складові похибки задані своїми довірчими границями , обчисленими за формулою (2.22), то довірчу границю сумарної систематичної похибки знаходять із виразу

,

де довірчі границі j-ї невилученої систематичної складової похибки, що відповідають довірчій ймовірності ;

квантильний коефіцієнт переходу, що відповідає довірчій імовірності .

2.9.3. Визначення сумарної випадкової похибки вимірювань

В основу підсумовування випадкових складових похибки вимірювань покладена властивість дисперсії для суми залежних випадкових величин, яка стосовно похибок записується так:

, (2.23)

де дисперсія суми n випадкових похибок;

дисперсія j-ї складової випадкової похибки, ;

взаємна кореляційна функція, або взаємний кореляційний момент j_ї та l-ї складових випадкової похибки, причому запис означає, що підсумовування розповсюджується на всі можливі попарні сполучення складових, для яких . Взаємна кореляційна функція визначається рівнянням

, (2.24)

де відповідно СКВ (або їх оцінки ) j-ї та l-ї складових випадкової похибки:

;

нормована взаємна кореляційна функція, або коефіцієнт кореляції:

.

Переходячи у формулі (2.23) до СКВ випадкових похибок з урахуванням (2.24), одержимо вираз для обчислення СКВ сумарної випадкової похибки за її складовими

. (2.25)

Звернемо увагу на те, що ця формула підсумовування випадкових похибок є універсальною, оскільки СКВ (і дисперсія) не залежить від закону розподілу похибок.

Відзначимо, що строго врахувати всі кореляційні зв'язки, а отже, і точно визначити коефіцієнт кореляції між похибками досить складно і не завжди можливо. Так, коефіцієнт кореляції між величинами визначається виразом

,

де результати q-го спостереження величин , відповідно, ;

Застосування формули (2.25) потребує ускладнення експерименту і обчислювань. Тому вона не знаходить широкого практичного застосування, а для її спрощення користуються нижчевказаними рекомендаціями щодо задання коефіцієнта кореляції

За степенем корельованості випадкові похибки слід розділити лише на два види: сильно корельовані і слабко корельовані. Умовною границею між сильною і слабкою кореляціями випадкових похибок вважають умову . Враховуючи це, до сильно корельованих належать похибки, для яких , і для них приймають . Прикладами сильно або жорстко корельованих похибок є похибки, викликані однаковою причиною (загальним джерелом живлення, майже однаковим впливом змінювання температури і т.п.), і в інших випадках, коли тісні кореляційні зв'язки між похибками явно проглядаються. До слабко корельованих належать похибки, для яких і для них приймають . Такі похибки звичайно викликаються різними причинами, причому такими, що не мають між собою явного зв'язку. Вони також називаються незалежними. Проміжні значення коефіцієнта кореляції, тобто крім або , при оцінюванні випадкової похибки, як правило, не використовуються.

У практиці вимірювань здебільшого мають справу з незалежними випадковими похибками, для яких і формула (2.25) набуває вигляду

(2.26)

Якщо СКВ похибки визначити у відносних одиницях, то

(2.27)

де відносне СКВ j-ї складової похибки.

Інколи для спрощення розрахунків переходять від підсумовування дисперсій (або СКВ) випадкових похибок до підсумовування максимальних (допустимих) значень абсолютних похибок . Тоді аналогічно формулам (2.22) і (2.26) маємо

(2.28)

Формула для СКЗ сумарної випадкової похибки дає завищену оцінку в порівнянні з (2.26), але ця оцінка більш вірогідна, ніж "оцінка зверху" .

Таким чином, арифметичне підсумовування використовується для грубої оцінки сумарної похибки, названої "оцінкою зверху" (або за максимумом), і при випадковому характері похибок. Воно зводиться до підсумовування максимальних значень окремих складових похибок. При такому підході передбачається, що всі складові випадкової похибки мають одночасно і максимальне значення, і однаковий знак. Очевидно, ймовірність такого збігу дуже мала, тому арифметичне підсумовування дає завищену оцінку сумарної випадкової похибки, і похибка цієї оцінки буде тим істотніша, чим більше число складових підсумовується. Тому арифметичне підсумовування випадкових похибок можливе при грубій оцінці сумарної похибки, коли вона містить 23 складових.

Переходячи в (2.28) до відносних похибок, маємо

де

При умові формула (2.25) набуває вигляду

, (2.29)

де знак "+" означає, що для складових з позитивною кореляцією () СКВ треба брати зі знаком "+", а для складових з негативною кореляцією брати зі знаком "". Знак модуля належить до .

Зокрема, при підсумовуванні двох складових випадкової похибки, СКВ яких , з (2.29) маємо

,

тобто наявність жорсткої кореляції () між випадковими складовими похибки приводить до переходу від геометричного їх підсумовування до алгебраїчного.

Таким чином, при виборі того або іншого методу (правила) підсумовування складових похибки визначальною ознакою є не розділ їх на систематичні і випадкові, а ступінь (рівень) кореляційних зв'язків: сильний або слабкий.

Якщо для складових випадкової похибки задано границі довірчих інтервалів і довірчі ймовірності , то СКВ кожної із складових, згідно з виразом (2.9), знаходять за формулою

.

Якщо всі складові випадкової похибки підлягають однаковому закону розподілу і мають однакову довірчу ймовірність P, тоді і .

При нормальному законі розподілу всіх складових або при кількості складових n  5 сумарна випадкова похибка має нормальний закон розподілу. Отже, її границі довірчого інтервалу з довірчою ймовірністю P можна визначити так: .

Страницы: 1, 2