Знание — сила. Библиотека научных работ.~ Портал библиофилов и любителей литературы ~ |
|
|
Задача 4 Исследовать динамику экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда. В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя приведен в таблице. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Номер наблюдения ( t = 1,2,…,9) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5 |
7 |
10 |
12 |
15 |
18 |
20 |
23 |
26 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Требуется:
1. Проверить наличие аномальных наблюдений.
2. Построить линейную модель Y(t) = a0 + a1t, параметры которой оценить МНК (Y(t)) – расчетные, смоделированные значения временного ряда).
3. Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S–критерия взять табулированные границы 2,7-3,7).
4. Оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.
5. По двум построенным моделям осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности p = 70%)
6. Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.
Решение
1). Наличие аномальных наблюдений приводит к искажению результатов моделирования, поэтому необходимо убедиться в отсутствии аномальных данных. Для этого воспользуемся методом Ирвина и найдем характеристическое число () (таблица 4.1).
; ,
Расчетные значения сравниваются с табличными значениями критерия Ирвина, и если они оказываются больше табличных, то соответствующее значение уровня ряда считается аномальным.
Таблица 4.1
t
Y
1
5
-4
16
-10,11
102,23
-
-
2
7
-3
9
-8,11
65,79
2
0,28
3
10
-2
4
-5,11
26,12
3
0,42
4
12
-1
1
-3,11
9,68
2
0,28
5
15
0
0
-0,11
0,01
3
0,42
6
18
1
1
2,89
8,35
3
0,42
7
20
2
4
4,89
23,90
2
0,28
8
23
3
9
7,89
62,23
3
0,42
9
26
4
16
10,89
118,57
3
0,42
Сумма
45
136
0
60
0
416,89
Среднее
5
15,11
Все полученные значения сравнили с табличными значениями, не превышает их, то есть, аномальных наблюдений нет.
2) Построить линейную модель , параметры которой оценить МНК (- расчетные, смоделированные значения временного ряда).
Для этого воспользуемся Анализом данных в Excel (рис. 4.2).
Рис 4.1
Результат регрессионного анализа содержится в таблице 4.2 и 4.3.
Таблица 4.2
Коэффициенты
Стандартная ошибка
t-статистика
Y-пересечение а0
1,944
0,249
7,810
t a1
2,633
0,044
59,516
Во втором столбце табл. 4.3 содержатся коэффициенты уравнения регрессии а0, а1, в третьем столбце – стандартные ошибки коэффициентов уравнения регрессии, а в четвертом – t – статистика, используемая для проверки значимости коэффициентов уравнения регрессии.
Уравнение регрессии зависимости (спрос на кредитные ресурсы) от (время) имеет вид (рис. 4.5).
Таблица 4.3
Вывод остатков
ВЫВОД ОСТАТКА
Наблюдение
Предсказанное Y
Остатки
1
4,58
0,42
2
7,21
-0,21
3
9,84
0,16
4
12,48
-0,48
5
15,11
-0,11
6
17,74
0,26
7
20,38
-0,38
8
23,01
-0,01
9
25,64
0,36
Рис. 4.4
3) Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7—3,7).
Модель является адекватной, если математическое ожидание значений остаточного ряда случайны, независимы и подчинены нормальному закону распределения.
3.1. Проверим независимость (отсутствие автокорреляции) с помощью d – критерия Дарбина – Уотсона по формуле:
Таблица 4.2
Наблюдение
1
0,42
0,18
-
-
-
2
-0,21
0,04
-0,63
0,42
0,18
3
0,16
0,02
0,37
-0,21
0,04
4
-0,48
0,23
-0,63
0,16
0,02
5
-0,11
0,01
0,37
-0,48
0,23
6
0,26
0,07
0,37
-0,11
0,01
7
-0,38
0,14
-0,63
0,26
0,07
8
-0,01
0,00
0,37
-0,38
0,14
9
0,36
0,13
0,37
-0,01
0,00
Сумма
0,00
0,82
0,70
,
Т.к. расчетное значение d попадает в интервал от 0 до d1, т.е. в интервал от 0 до 1,08, то свойство независимости не выполняется, уровни ряда остатков содержат автокорреляцию. Следовательно, модель по этому критерию неадекватна.
3.2. Проверку случайности уровней ряда остатков проведем на основе критерия поворотных точек. P > [2/3(n-2) – 1, 96 √ (16n-29)/90]
Количество поворотных точек равно 6 (рис.4.5).
Рис. 4.5
Неравенство выполняется (6 > 2). Следовательно, свойство случайности выполняется. Модель по этому критерию адекватна.
3.3. Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения определим при помощи RS – критерия:
, где
- максимальный уровень ряда остатков,
- минимальный уровень ряда остатков,
- среднеквадратическое отклонение,
,
Расчетное значение попадает в интервал (2,7-3,7), следовательно, выполняется свойство нормальности распределения. Модель по этому критерию адекватна.
3.4. Проверка равенства нулю математического ожидания уровней ряда остатков.
В нашем случае , поэтому гипотеза о равенстве математического ожидания значений остаточного ряда нулю выполняется.
В таблице 4.3 собраны данные анализа ряда остатков.
Таблица 4.3
Проверяемое свойство
Используемые статистики
Граница
Вывод
наименование
значение
нижняя
верхняя
Независимость
d-критерий
0,85
1,08
1,36
неадекватна
Случайность
Критерий поворотных точек
6>2
2
адекватна
Нормальность
RS-критерий
2,81
2,7
3,7
адекватна
Среднее=0?
t-статистика Стьюдента
0
-2,179
2,179
адекватна
Вывод: модель статистики неадекватна
4) Оценить точность модели на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.
Для оценки точности полученной модели будем использовать показатель относительной ошибки аппроксимации, который вычисляется по формуле:
, где
Расчет относительной ошибки аппроксимации
Таблица 4.4
t
Y
Предсказанное Y
1
5
4,58
0,42
0,08
2
7
7,21
-0,21
0,03
3
10
9,84
0,16
0,02
4
12
12,48
-0,48
0,04
5
15
15,11
-0,11
0,01
6
18
17,74
0,26
0,01
7
20
20,38
-0,38
0,02
8
23
23,01
-0,01
0,00
9
26
25,64
0,36
0,01
Сумма
45
136
0,00
0,23
Среднее
5
15,11
Если ошибка, вычисленная по формуле, не превосходит 15%, точность модели считается приемлемой.
5) По построенной модели осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности р = 70%).
Воспользуемся функцией Excel СТЬЮДРАСПОБР. (рис. 4.10)
t = 1,12
Рис. 4.6
Для построения интервального прогноза рассчитаем доверительный интервал. Примем значение уровня значимости , следовательно, доверительная вероятность равна 70 %, а критерий Стьюдента при равен 1,12.
Ширину доверительного интервала вычислим по формуле:
, где
(находим из таблицы 4.1)
,
.
Вычисляем верхнюю и нижнюю границы прогноза (таб. 4.11).
Таблица 4.5
Таблица прогноза
n +k
U (k)
Прогноз
Формула
Верхняя граница
Нижняя граница
10
U(1) =0.84
28.24
Прогноз + U(1)
29.сен
27.40
11
U(2) =1.02
30.87
Прогноз - U(2)
31.89
29.85
6) Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.
Преобразуем график подбора (рис. 4.5), дополнив его данными прогноза.
Рис. 4.7
| Новости |
| Мои настройки |
|
|
© 2009 Все права защищены.
Экономико-математические методы и прикладные модели
Наверх