Элементы теории вероятности

Содержание

ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………………………3

Анализ различных подходов к определению вероятности.. 4

Примеры стохастических зависимостей в экономике. 6

Проверка ряда гипотез о свойствах распределения вероятностей для случайной компоненты как один из этапов эконометрического исследования.. 9

Заключение. 14

Список использованной литературы.. 16

Введение

Сегодня деятельность в любой области экономики (управлении, учете, финансово- кредитной сфере, маркетинге, аудите) требует от специалиста применения современных методов работы, знания достижений мировой экономической мысли, понимания научного языка. Большинство современных методов основано на эконометрических моделях, концепциях, приемах. Без глубоких знаний эконометрики научиться их использовать невозможно. На практике далеко не все экономические явления и процессы можно свести к функциональным зависимостям, когда величине факторного показателя соответствует единственная величина результативного показателя.

Чаще в экономических исследованиях встречаются стохастические зависимости, которые отличаются приблизительностью, неопределенностью. Они проявляются только в среднем по значительному количеству объектов (наблюдений). Здесь каждой величине факторного показателя (аргумента) может соответствовать несколько значений результативного показателя (функции). Например, увеличение фондовооруженности труда рабочих дает разный прирост производительности труда на разных предприятиях даже при очень выровненных прочих условиях. Это объясняется тем, что все факторы, от которых зависит производительность труда, действуют в комплексе, взаимосвязано. В зависимости от того, насколько оптимально сочетаются разные факторы, будет неодинаковой степень воздействия каждого из них на величину результативного показателя.

 Целью настоящей работы является  изучение эконометрических методов и использование стохастических зависимостей в эконометрике.

Для достижения данной цели поставлены следующие задачи:

·          проанализировать различных подходов к определению вероятности: априор­ный подход, апостсриорно-частотный подход, апостериорно - модельный подход.

·          рассмотреть примеры стохастических зависимостей в экономике, их особен­ности и теоретико-вероятностные способы их изучения.

·          рассмотреть ряд гипотез о свойствах распределения вероятностей для случайной компоненты как один из этапов эконометрического исследования.

Объектом исследования данной работы являются эконометрические методы и стохастических зависимости, которые используются в эконометрике.

Предметом исследования работы является методы эконометрического исследования.

В данной работе использованы следующие методы исследования: графический, статистический, абстрактно-логический, эконометрический, сравнительного анализа.

Анализ различных подходов к определению вероятности

Вероятность любого собы­тия А определяется как сумма вероятностей всех элементарных событий, составляющих событие А, т.е. если использовать символику Р{А} для обозначения вероятности события А, то

       (1)                  

Отсюда следует, что всегда 0<Р{А}<1, причем вероятность достоверного события равна единице, а вероятность невозможного события равна нулю..

Таким образом, для исчерпывающего описания механизма исследуе­мого случайного эксперимента (в дискретном случае) необходимо задать конечное или счетное множество всех возможных элементарных исходов   и каждому элементарному исходу  поставить в соответствие некото­рую неотрицательную (не превосходящую единицы) числовую характери­стику p, интерпретируемую как вероятность появления исхода  (будем обозначать эту вероятность символами P{wi}).

Вероятностное пространство является понятием, форма­лизующим описание механизма случайного эксперимента. Задать вероятностное пространство - это значит задать пространство элемен­тарных событии   и определить в нем вышеуказанное соответствие типа:

  (2)

Очевидно, соответствие типа (2) может быть задано различными способами: с помощью таблиц, графиков, аналитических формул, наконец, алгоритмически.

Чтобы определить из конкретных условий решаемой задачи вероятности P{wi} отдельных элементарных событий используется один из следующих трех подходов.

Априорный подход к вычислению вероятностей P{wi} заключается в теоретическом, умозрительном анализе специфических условий данного конкретного случайного эксперимента (до проведения самого эксперимен­та). В ряде ситуаций этот предопытный анализ позволяет теоретически обосновать способ определения искомых вероятностей. Например, возмо­жен случай, когда пространство всех возможных элементарных исходов состоит из конечного числа N элементов, причем условия производства исследуемого случайного эксперимента таковы, что вероятности осуще­ствления каждого из этих N элементарных исходов нам представляют­ся равными (именно в такой ситуации мы находимся при подбрасывании симметричной монеты, бросании правильной игральной кости, случайном извлечении игральной карты из хорошо перемешанной колоды и т.п.). В силу аксиомы, вероятность каждого элементарного события равна в этом случае 1/N. Это позволяет получить простой рецепт и для подсчета вероятности любого события: если событие А содержит NA элементарных событий, то в соответствии с определением (3)

Смысл формулы (3) состоит в том, что вероятность события в данном классе ситуаций может быть определена как отношение числа благопри­ятных исходов (т. е. элементарных исходов, входящих в это событие) к числу всех возможных исходов (так называемое классическое определение вероятности). В современной трактовке формула (3) не является опре­делением вероятности: она применима лишь в том частном случае, когда все элементарные исходы равновероятны.

Апостериорно-частотный подход к вычислению вероятностей Р{wi} отталкивается, по существу, от определения вероятности, принятого так называемой частотной концепцией вероятности. В соответствии с этой концепцией вероятность Р{wi} определяется как предел относительной частоты появления исхода   в процессе неограниченного увеличения об­щего числа случайных экспериментов n, т.е. (4)

где mn(wi) - число случайных экспериментов (из общего числа n про­изведенных случайных экспериментов), в которых зарегистрировано по­явление элементарного события wi. Соответственно для практического (приближенного) определения вероятностей pi предлагается брать отно­сительные частоты появления события   в достаточно длинном ряду слу­чайных экспериментов.

Апостериорно-модельный подход к заданию вероятностей Р{wi}, от­вечающему конкретно исследуемому реальному комплексу условий, явля­ется в настоящее время, пожалуй, наиболее распространенным и наиболее практически удобным. Логика этого подхода следующая. С одной сторо­ны, в рамках априорного подхода, т. е. в рамках теоретического, умозри­тельного анализа возможных вариантов специфики гипотетичных реаль­ных комплексов условий разработан и исследован набор модельных веро­ятностных пространств (биномиальное, пуассоновское, нормальное, пока­зательное и т.п.). С другой стороны, исследователь располагает результатами ограниченного ряда случайных экспериментов. Далее с помощью специальных математико-статистических приемов исследователь как бы прила­живает гипотетичные модели вероятностных пространств к имеющимся у него результатам наблюдения (отражающим специфику изучаемой реаль­ной действительности) и оставляет для дальнейшего использования лишь ту модель или те модели, которые не противоречат этим результатам и в некотором смысле наилучшим образом им соответствуют.

Примеры стохастических зависимостей в экономике

Первая принципиальная идея, с которой встречается каждый изучающий экономист – идея о взаимосвязи между экономическими переменными. Формирующийся на рынке спрос на некоторый товар рассматривается как функция его цены; затраты, связанные с изгото­влением какого-либо продукта, предполагаются зависящими от объема производства; потребительские расходы могут быть функцией дохода ит.д. Все это примеры связей между двумя переменными, одна из кото­рых (спрос на товар, производственные затраты, потребительские расхо­ды) играет роль объясняемой переменной (или результирующего пока­зателя), а другие интерпретируются как объясняющие переменные (или факторы-аргументы). Однако для большей реалистичности в каждое та­кое соотношение приходится вводить несколько объясняющих перемен­ных и остаточную случайную составляющую, отражающую влияние на результирующий показатель всех неучтенных факторов. Спрос на товар можно рассматривать как функцию его цены, потребительского дохода и цен на конкурирующие и дополняющие товары; производственные за­траты будут зависеть от объема производства, от его динамики и от цен на основные производственные ресурсы; потребительские расходы мож­но определить как функцию дохода, ликвидных активов и предыдущего уровня потребления. При этом участвующая в каждом из этих соотноше­ний случайная составляющая, отражающая влияние на анализируемый результирующий показатель всех неучтенных факторов, обусловливает стохастический характер зависимости, а именно: даже зафиксировав на определенных уровнях значения объясняющих переменных, скажем, це­ны на сам товар и на конкурирующие с ним или дополняющие товары, а также потребительский доход, мы не можем ожидать, что тем самым однозначно определяете спрос на этот товар. Другими словами, переходя в своих наблюдениях спроса от одного временного или пространственного такта к другому, мы обнаружим случайное варьирование величины спроса около некоторого уровня даже при сохранении значений всех объясняю­щих переменных неизменными.

В прикладном статистическом анализе анализируются различные ва­рианты формализации понятия стохастической зависимости между результирующим показателем у и объясняющими переменными х(1),х (2),…,х (р).

Наиболее распространенной в эконометрических приложениях формой представления стохастической зависимости является аддитивная линей­ная форма, которая и будет главным предметом исследования в нашем изложении:

 (5)

Здесь yt - значение результирующей (объясняемой) переменной, измерен­ное в t-u временном (или пространственном) такте, х t(1),х t (2)…х t (р) - значения участвующих в соотношении объясняющих переменных, полу­ченные в том же t-м измерении, θ1, θ2,..., θ t - некоторые параметры (как правило, не известные до проведения соответствующего статистическо­го анализа), δ t - случайная составляющая, характеризующая разницу между модельный и наблюденным значениями анализируемой результи­рующей переменной, зафиксированную в t-м измерении. Под модельный значением результирующей переменной ỹt здесь и в дальнейшем мы бу­дем понимать ее значение, восстановленное по заданным величинам объ­ясняющих переменных при условии, что коэффициенты θ 1, θ 2,..., θ p нам известны, т.е.

 (6)

При такой интерпретации модельного значения результирующей пе­ременной случайную составляющую   можно интерпретировать как слу­чайную ошибку прогноза у по заданным значениям  х (1),х (2),х (р), причем, чтобы исключить систематическую ошибку в оценке yt по ỹt, обычно полагают, что среднее значение случайной составляю­щей t при всех значениях t равно нулю (т.е. Еδ t =0). Очевидно, чем больше информации заключено в значениях объясняющих переменных х t(1),х t (2),…,х t (р)  относительно величины у, тем надежнее будет прогноз и тем меньше будет ошибка прогноза δ. Малость случайной величины - это значит, что ее значения сосредоточены в окрестности нуля с малой дисперсией.

Следующий шаг в развитии экономических теорий состоит в группи­ровке отдельных соотношений в модель. Всякая математическая модель является лишь упрощенным формализованным представлением реально­го объекта (явления, процесса), и искусство ее построения состоит в том, чтобы совместить как можно большую лаконичность параметризации мо­дели с достаточной адекватностью описания именно тех сторон моделиру­емой реальности, которые интересуют исследователя. Количество связей, включаемых в экономическую модель, зависит от условий, при которых эта модель конструируется, и от подробности объяснения, к которой мы стремимся. Например, традиционная модель спроса и предложения долж­на объяснять соотношения между ценой и объемом выпуска, характерные для некоторого определенного рынка. Она содержит три уравнения, а именно: уравнение спроса, уравнение предложения и уравнение реакции рынка. В эти уравнения, помимо интересующих нас объема выпуска и цены, будут входить и другие переменные; так, например, в уравнение спроса войдет потребительский доход, а в уравнение предложения - цена. Объяснение, достигнутое с помощью такой модели, обусловлено значени­ями некоторых «внешних» по отношению к модели переменных и в этом смысле модель является неполной, или условной. Более претенциозные модели содержат гораздо больше уравнений и с их помощью пытаются отразить поведение существенно большего числа переменных; однако и они остаются условными, поскольку тоже содержат переменные, не опре­деляемые или не объясняемые моделью.

Все экономические модели, независимо от того, относятся они ко все­му хозяйству или к его элементам (т. е. к макроэкономике, отрасли, фирме или рынку), имеют некоторые общие особенности. Во-первых, они осно­ваны на предположении, что поведение экономических переменных опре­деляется с помощью совместных и одновременных операций с некоторым числом экономических соотношений. Во-вторых, принимается гипотеза, в силу которой модель, допуская упрощение сложной действительности, тем не менее улавливает главные характеристики изучаемого объекта. В-третьих, создатель модели полагает, что на основе достигнутого с ее помощью понимания реальной системы удастся предсказать ее будущее движение и, возможно, управлять им в целях улучшения экономического благосостояния.

Чтобы проиллюстрировать сказанное и наметить пути для выяснения специфической роли эконометрики, рассмотрим пример весьма общей и приближенной макромодели.

Пример1:

Предположим, что экономист-теоретик сформули­ровал следующие положения:

• потребление есть возрастающая функция от имеющегося в наличии дохода, но возрастающая, видимо, медленнее, чем рост дохода;

• объем инвестиций есть возрастающая функция национального дохода и убывающая функция характеристики государственного регулирова­ния (например, нормы процента);

• национальный доход есть сумма потребительских, инвестиционных и государственных закупок товаров и услуг.

Наша первая задача - перевести эти положения на математический язык. И тут мы немедленно сталкиваемся с многообразием открываю­щихся перед нами возможных способов удовлетворения сформулирован­ным априорным требованиям теоретика. Какие соотношения выбрать между переменными - линейные или нелинейные? Если остановиться на нелинейных, то какими они должны быть - логарифмическими, поли­номиальными или какими-либо еще? Даже определив форму конкретного соотношения, мы оставляем еще нерешенной проблему выбора для раз­личных уравнений запаздываний по времени. Будут ли, например, ин­вестиции текущего периода реагировать только на национальный доход, произведенный в последнем периоде, или же на них скажется динамика не скольких предыдущих периодов? Обычный выход из этих трудностей со­стоит в выборе при первоначальном анализе наиболее простой из возмож­ных форм этих соотношений. Тогда появляется возможность записать на основе указанных выше положений следующую линейную относительно анализируемых переменных и аддитивную относительно случайных со­ставляющих модель:

Страницы: 1, 2