Корреляционно-регрессионный анализ

Министерство  образования  Российской Федерации

ОРЕНБУРГСКИЙ   ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  УНИВЕРСИТЕТ

Финансово-экономический факультет

Кафедра  МММЭ

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине "Эконометрика"

Корреляционно-регрессионный анализ

ОГУ  061700.5001.03 00

                                                  Руководитель работы

__________________   Аралбаева Г.Г.

                                                       “____”_____________        2002г.

                                                  Исполнитель

                                                         студент гр.99 з/о ст

                                                        ______________         .Чаплыгина О.Г.

                                                       “_____”____________      2002г.

Оренбург 2002 г.

Задание

Дана выборка из генеральной совокупности по производственно-хозяйственной деятельности предприятия машиностроения (Приложение 1). Исследуется N=53 объекта по пяти признакам:

X5 –Удельный вес рабочих в составе ППП;   

X7 – Коэффициент сменности оборудования;

X10 -  Фондоотдача;    

X14– Фондовооруженность труда;  

X17 – Непроизводственные расходы;

 Y1- производительность труда;    

На основе полученных данных необходимо:

На основе  данных необходимо:

1.     По исходным данным построить классическую линейную модель  множественной регрессии, оценить значимость полученного уравнения регрессии и его коэффициентов, для значимых параметров построить доверительный интервал.

2.     Проанализировать матрицу парных коэффициентов корреляции на наличие мультиколинеарности, если мультиколлинеарность присутствует устранить методом пошагового отбора переменных, отобрать наиболее информативные переменные и с помощью них построить модель регрессии, оценить ее значимость.

3.     Проверить построенную модель на гетероскедастичность. Построить обобщенную модель множественной регрессии (случай гетероскедастичности остатков)

4.      Проверить модель на наличие автокорреляции (с помощью критерия Дарбина-Уотсона) устранить с использованием обобщенного метода наименьших квадратов на случай автокоррелированности регрессионных остатков

Введение

    Пусть имеется p объясняющих переменных и зависимая переменная У. Переменная У является случайной величиной, имеющей при заданных значениях факторов некоторое распределение. Если случайная величина Y непрерывна, то можно считать, что ее распределение при каждом допустимом наборе значений факторов () имеет условную плотность .

        Обычно делается некоторое предположение относительно распределения У. Чаще всего предполагается, что условные распределения У при каждом допустимом значении факторов – нормальные. Подобное предположение позволяет получить значительно более «продвинутые» результаты.

      Объясняющие переменные могут считаться как случайными, так и детерминированными, т.е. принимающими определенные значения.

         Классическая эконометрическая модель рассматривает объясняющие переменные  как детерминированные, однако, основные результаты статистического исследования модели остаются в значительной степени теми же, что и в случае, если считать  случайными переменными.

       Объясняющая часть – обозначим ее Уе – в любом случае представляет собой функцию от значений факторов – объясняющих переменных:

Таким образом, эконометрическая модель имеет вид

      Наиболее естественным выбором объясненной части случайной величины У является ее среднее значение – условное математическое ожидание , полученное при данном наборе значений объясняющих переменных (х1,x2,..,xp)

Цель работы: Исследовать корреляционно – регрессионную зависимость между признаком у и группой аргументов .

Объект исследования : Производственные предприятия, занимающиеся производственной деятельностью.

Предмет исследования : корреляционная связь между признаками.

1. По исходным данным построить классическую линейную модель  множественной регрессии, оценить значимость полученного уравнения регрессии и его коэффициентов, для значимых параметров построить доверительный интервал.

Построим собственно-линейную функцию регрессии вида: , оценка

Параметры модели будем искать МНК:

Матрица Х имеет размерность 6х53, в первой строке стоят единицы.

Используя пакет STADIA оцениваем уравнение регрессии.

Получаем следующие результаты:

Таблица 1

  Коэфф.       a0       a1       a2       a3       a4       a5

Значение    -14,9     14,4        4    0,906    0,174    0,237

Ст.ошиб.     18,4     19,8     2,91    0,992    0,188    0,216

 Значим.    0,575    0,523    0,172    0,631    0,637    0,278

Источник  Сум.квадр. Степ.св Средн.квадр.

Регресс.     37,2        5     7,44

Остаточн      292       47     6,22

     Вся      330       52

Множеств R     R^2  R^2прив  Ст.ошиб.       F   Значим

  0,33602  0,11291  0,01854   2,4942      1,2    0,325

   Гипотеза 0: <Регрессионная модель неадекватна экспериментальным данным>

 Оценка уравнения регрессии:

=-14,9+14,4х1+4,0х2+0,906х3 +0,174х4+0,237х5

      (18,4) (19,8)   (2,91)  (0,992)     (0.188)     (0.216) 

(внизу указаны стандартные ошибки каждого коэффициента регресии.)

Проверка значимости модели.

Проверим значимость построенной модели, выдвигаем гипотезу

      H0: (модель незначима)

      H1:  (модель значима)

Строим статистику     распределена  по закону   Фишера-Снедокора  с числом ст. свободы n в числители и N-n-1 в знаменатели. (воспользуемся данными таблицы 1)

В нашем случае F=1,2, Fкр (0,05;5;47)=2,44 т.к Fн>Fкр,то гипотеза Н0 не отвергается и модель не является значимой.

Проверка значимости коэффициентов регрессии.

Проверим  на значимость коэффициенты уравнения, выдвигаем гипотезу

      Н0:

      Н1:

Строим статистику t= распределена по закону Стьюдента с N-n-1 ст.свободы. (воспользуемся данными таблицы 1) (будем принимать коэффициенты регрессии по абсолютному значению)

tb0 =- 0,810                                                         tb3 =0,913

tb1 =0,727                                                       tb=0,926

tb2  =1,375                                                    tb5  =1,097

tкр(0,05;47)=2,013

tb0 ->-tкр                                                        tb3 <tкр

tb1  < tкр                                                   tb4 <   tкр

tb2 <    tкр                                                    tb5  <    tкр

Среди всех коэффициентов значимыми являются  b0, по такой модели прогноз сделать не представляется возможным, поскольку все коэффициенты регрессии при переменных не значимы.

   На этом регрессионный анализ можно завершить, так как значимых переменных не обнаружено.

2. Проанализировать матрицу парных коэффициентов корреляции на наличие мультиколинеарности, если мультиколлинеарность присутствует устранить методом пошагового отбора переменных, отобрать наиболее информативные переменные и с помощью них построить модель регрессии, оценить ее значимость.

Коэффициент ковариации нормированных случайных величин называется коэффициентом корреляции, или коэффициентом парной корреляции.

, (1)

где - средние квадратические отклонения случайных величин и

Для удобства расчета корреляционной матрицы, предварительно рассчитывают ковариационную матрицу .

  Ковариационная матрица определяется как математическое ожидание произведения центрированного случайного вектора на этот транспонированный вектор

Матрица

(2)

где   - центральный смешанный момент второго порядка, коэффициент ковариации  i- й и j-й компонент вектора  при

Рассмотрим матрицу исходных данных (см. Приложение 1)

1. Найдем центрированную матрицу

, где Х матрица исходных данных размерности 53*6

Найдем оценку вектора  , т.е.

где  , где n = 53 – объем выборки.

Используя пакет STADIA (Раздел описательная статистика), получаем вектор :                                            

Согласно приведенной формуле  рассчитываем центрированную матрицу (Приложение 2)

2. Рассчитываем матрицу

Используя пакет STADIA (меню преобразований), получаем:

=

Оценку ковариационной матрицы получим путем умножения матрицы  на множитель

Обозначим оценку ковариационной матрицы S, используя пакет MathCad находим:

оценка ковариационной матрицы.

Для расчета ковариационной матрицы воспользуемся формулой (1) и определением ковариационной матрицы (2), получаем следующую оценку корреляционной матрицы:

Данный расчет можно провести на прямую, используя пакет STADIA, но наша цель бала показать весь процесс расчета корреляционной матрицы. Проанализируем корреляционную матрицу. 

1 – я строка и 1 – столбец это признак у , как видим наибольшая связь наблюдается между признаками х7 и х14 очень тесная (-0,938) , если анализировать парную связь между факторными признаками, то можно заметить наибольшую связь между признаком х5 и х17 (-0,938).

Устранение мультиколлинеарности с помощью метода пошаговой регрессии

   Устраним мультиколлинеарность методом пошаговой регрессии,

который предполагает, что на каждом шаге мы будем включать в уравнение регрессии тот признак, который будет вызывать наибольшее приращение коэффициента детерминации.

  Шаг 1    

Строим уравнения регрессии

Находим максимальный коэффициент детерминации  (где k=1)

 Вычисляем нижнюю границу коэффициента детерминации  достигнет своего максимума.

Используя пакет STADIA определяем: