Биноминальная модель оценки стоимости (премии) опционов

Биноминальная модель оценки стоимости (премии) опционов

Сущность и основные виды опционных контрактов

Опционный контракт — это договор, в соответствии с которым одна из его сторон, называемая владельцем (или покупателем), получает право купить (продать) какой-либо актив по установленной цене (цене исполнения) до определенной в будущем даты или на эту дату у другой его стороны, называемой подписчиком (или продавцом), или право отказаться от исполнения сделки с уплатой за эти права подписчику некоторой суммы денег, называемой премией.

Опционный контракт часто для краткости называют просто опционом, что не совсем точно, ибо понятие опциона шире, чем опционного контракта. Но в данном случае эти термины будем употреблять как синонимы. Владелец опциона еще называется его держателем. Можно употреблять и термин «покупатель опциона», но при этом помнить, что покупатель опциона может занимать в опционе позицию как покупателя, так и продавца. Подписчик опциона может называться выписывателем, или продавцом, опциона. Однако последний термин не означает, что он всегда занимает позицию продавца в опционе.

Опцион, который дает право купить актив, называется опционом на покупку или опционом колл, или просто коллом.

Опцион, который дает право продать актив, называется опционом на продажу или опционом пут, или просто путом.

Актив, который лежит в основе опциона, всегда имеет две цены: текущую рыночную цену, или цену спот, и цену исполнения, зафиксированную в опционе, по которой последний может быть исполнен. Ценой самого опциона является его премия, а не цена актива, лежащего в основе опциона.

Опцион имеет срок действия, который ограничен датой экспирации, т.е. датой окончания срока действия. В зависимости от даты исполнения опциона он может быть либо американским опционом, либо европейским опционом. Американский опцион может быть исполнен в любой момент времени, включая дату экспирации. Европейский опцион может быть исполнен только на дату экспирации, т.е для него даты исполнения и экспирации совпадают, а для американского опциона эти даты могут не совпадать.

Опционы делятся на биржевые и небиржевые. Биржевые опционные контракты заключаются только на биржах и по механизму своего действия они почти полностью аналогичны фьючерсным контрактам.

Биржевые опционы полностью стандартизированы, они могут закрываться обратной сделкой, они имеют маржевый механизм гарантирования их исполнения (только в случае опциона маржу обычно уплачивает подписчик (продавец) опциона). Биржевые опционы, как и фьючерсные контракты, имеют в основном краткосрочный характер, т е. сроки их действия очень редко превышают один год, а самым распространенным сроком их действия является трехмесячный период.

Биржевые опционы заключаются на те же активы, что и фьючерсные контракты: на товары, валюту, процентные ставки, индексы. Кроме того, имеются биржевые опционы на фьючерсные контракты.

Небиржевые опционы по механизму своего обращения аналогичны ликвидным форвардным контрактам, т.е. их рынок формируется банками-дилерами (маркет-мейкерами), которые, как правило, являются стороной каждого небиржевого опциона, т.е. по сути они выполняют роль расчетной (клиринговой) палаты в обеспечении небиржевой торговли с тем лишь отличием, что гарантии от риска — это дело только банка и клиента, а не всего рынка контрактов, как в случае биржевой торговли.

Небиржевые опционы делятся на краткосрочные (срок действия до одного года) и долгосрочные. К краткосрочным небиржевым опционам относятся опционы на долгосрочные опционы (например, кэпционы) и опционы на другие небиржевые срочные контракты, например опционы на свопы, или свопопционы.

Долгосрочные опционы делятся на однопериодные и многопериодные. Однопериодные опционы — это опционы, момент расчета (или отказа от расчета) либо исполнения по которым совпадает с окончанием срока их действия. Многопериодные опционы — это опционы, в течение срока действия которых существует несколько дат расчета (исполнения) опциона.

По сути однопериодными являются и все краткосрочные опционы, хотя теоретически нельзя, например, исключать возможности существования трех- или шестимесячного опциона с расчетами на ежемесячной основе, что превращает такой краткосрочный опцион в многопериодный.

Долгосрочные многопериодные опционы, в основе которых лежит опцион колл, называются «кэпы», а те, в основе которых лежит опцион пут, называются «флоры» Комбинации кэпов и флоров называются «коллары».

Упрощенная версия модели определения премии опционов

Премия представляет собой цену опциона, уплачиваемую изначально. Цены опционов котируются с учетом цен соответствующих акций, а сами опционы продаются и покупаются в виде контрактов, каждый из которых рассчитан на покупку или продажу 1000 акций.

Оценка опционов является чрезвычайно сложной проблемой, для решения которой разработано много математических методов, а также специальных компьютерных программ. Однако можно провести оценку опционов, используя простой (в чем-то даже нереалистичный) пример. Существует возможность воспроизведения дохода от покупки акции за счет приобретения опциона колл, продажи опциона пут и размещения остатка средств на депозите по ставке, свободной от воздействия риска, на период существования опциона. Именно такой подход и обеспечит метод оценки опционов.

Упрощённая версия модели определения премии опционов на примере опционов колл Riskitt plc: в апреле акция Riskitt plc стоит 100 п.

Трехмесячный опцион на ее акции с датой истечения в июле имеет цену исполнения 125 п. При текущей цене акции, меньшей цены исполнения, представляется очевидным, что для придания опциону положительной стоимости цена акции в следующем квартале должна увеличиться по крайней мере на 25 п. Предположим, что к дате истечения вероятности того, что цена акции вырастет до 200 п. или упадет до 50 п., одинаковы, и что других вариантов изменения цены не существует. Предположим также, что вы можете брать ссуду под 12% годовых, т. е. под 3% в квартал.

Каким же будет доход от опциона колл на акцию Riskitt?

Заработок: 75 п., если цена акции возрастет, и ничего, если она упадет ниже цены исполнения. Чтобы узнать, насколько следует стремиться к покупке такого опциона, нужно воспроизвести процесс инвестирования в опцион колл посредством сочетания операций покупки акций Riskitt и получения заемных средств. Предположим, что мы покупаем 200 опционов. Доход по ним в июле окажется нулевым, если цена акции упадет до 50 п., и £150 (т. е. 200 × 75 п.), если цена акции вырастет до 200 п. Эти результаты показаны в табл. 1. Следует обратить внимание на то, что поток денежных средств, который мы пытаемся определить, соответствует апрельской премии, помеченной в таблице знаком вопроса.

Чтобы воспроизвести потоки средств, обеспечиваемые опционом колл, вы должны использовать вторую стратегию из табл. 3, а именно купить 100 акций и заимствовать достаточное количество наличности, чтобы создать потоки денежных средств, идентичные тем, которые возникают в июле при использовании стратегии покупки опциона колл. Это означает, что вам необходимо заимствовать £50. Теперь чистые потоки денежных средств, обеспечиваемые этими стратегиями в июле, будут одинаковыми при любой цене акции. Однако возврат ссуды в £50, который необходимо провести в июле, будет включать в себя и процентные платежи за ее использование (3%). Следовательно, сумма, заимствованная в апреле, будет соответствовать приведенной стоимости £50, т. е. £50/1,03 = £48,54. Вычитание этого значения из цены, уплаченной за акции, даст нам результат в £51,46, который должен соответствовать апрельской плате за 200 опционов. Таким образом, цена одного опциона колл соответствует приблизительно 26 п.

Сущность концепции формирования портфеля без риска

Существует ряд подходов к определению оптимальных портфелей ценных бумаг. Большой вклад в решение этой проблемы внесли Джеймс Тобин и Уильям Шарп. Они развили подход Марковица в ситуации, когда в экономике существует безрисковый актив с некоторой доходностью. Под безрисковым активом понимается актив, доходность от которого является определенной. И поскольку неопределенность конечной стоимости безрискового актива отсутствует, то, соответственно, стандартное отклонение для безрискового актива равно нулю. Если безрисковый актив имеет заранее известную доходность, то некие ценные бумаги, входящие в актив, должны обеспечивать инвестору фиксированный доход. В этой связи вряд ли корпоративные ценные бумаги могут принести инвестору фиксированный доход.

Инвестирование в безрисковый актив иногда называют безрисковым кредитованием. Дж. Тобин показал, что если р = (р i,...р п) — некоторый портфель (р i — для i -го актива в портфеле), а f — безрисковый актив, то все портфели вида:

Среди всех таких прямых нужно выбрать самую крутую (более крутая дает большую доходность при заданном риске р), т.е. ту, которая проходит через точку (0, r р) и точку касания 0* к эффективной границе (рис.1).

Рисунок 1. Рыночная прямая.

Это новая эффективная граница, полученная с учетом безрискового актива. Ее называют рыночной линией (CML, Capital Market Line), а точку называют рыночным портфелем (market portfolio). Смысл термина указал Уильям Шарп, который показал, что портфель можно вычислить на основе условия равенства спроса и предложения финансовых активов, рассматривая рынок в полном объеме как совокупность всех инвесторов и всех ценных бумаг (активов). В этом случае доля акций типа i в портфеле 0* просто равна доле всех акций типа i на рынке. Поэтому О* и называют рыночным портфелем. Алгоритм Марковица-Тобина дает решение задачи составления оптимального портфеля. Но в ситуации, когда нужно исследовать очень большое количество акций, он нереализуем из-за сложности вычислений (нужно обращать матрицу огромного размера). Эдвин Элтон, Мартин Грубер и Манфред Падберг предложили простой и изящный алгоритм вычисления портфеля 0* в предположении, что набор рассматриваемых активов можно описать моделью с одним индексом. В моделях с одним индексом рассматривается рыночный индекс I, характеризующий поведение фондового рынка в целом. На Западе очень популярен индекс Доу-Джонса, на нашем фондовом рынке — индекс РТС. Для рассматриваемого (базового) индекса I вводится естественное понятие доходности

где PV 0 — значение индекса в начале исследуемого периода; С I — значение индекса в конце рассматриваемого периода. Доходность r i ведет себя как случайная величина с определенным средним r 1 и дисперсией ? r 2. Базовая доходность r 1 каким-то образом связана с доходностью финансовых активов r j, что измеряется ковариациями ? ij. В рамках модели с одним индексом предполагается, что доходности рассматриваемых активов представляются в виде

Следует подчеркнуть, что условия (4) и (5) — следствие выбора коэффициентов (1) и (2), а условие (6) — априорное допущение, которое нуждается в проверке в каждой конкретной рыночной ситуации. Алгоритмы Элтона-Грубера-Падберга и Марковица реализуют общий подход — при заданном у ровне ожидаемой доходности минимизировать риск. Стефан Росс в 1976 г. разработал другой подход к управлению портфелем. Его теория, известная как теория арбитражного ценообразования (APT, Arbitrage Pricing Theory), в некотором смысле менее сложна, чем рыночная теория Шарпа. В ее основе лежит предположение о том, что каждый инвестор стремится увеличить доходность своего портфеля, не увеличивая при этом возможный риск. Для достижения этой цели инвестор составляет арбитражный портфель. При формировании арбитражного портфеля используется модель с одним индексом. Арбитражным портфелем называют любой портфель А = (А 1, А 2,..., А n) с условиями:

Условие (7) означает, что для составления портфеля А не требуется дополнительных ресурсов. Условие (8) означает, что арбитражный портфель не чувствителен к базовому фактору. Условие (9) означает, что ожидается положительная доходность портфеля А. Арбитражный портфель формируется таким образом, чтобы его риск был существенно меньше риска текущего портфеля. Еще предпочтительнее, чтобы риск арбитражного портфеля был близок к нулю:

Допустим, что у нас есть старый (текущий) портфель и мы сформировали некоторый арбитражный портфель А с условиями (7-10). Тогда мы строим новый текущий портфель:

с компонентами

Ожидаемая доходность этого портфеля равна:

В силу свойства (9) она выше ожидаемой доходности старого портфеля р.

Риск нового портфеля остался на прежнем уровне:

Последнее значение следует из известного неравенства

Такова суть подхода к управлению портфелем на основе арбитражной теории ценообразования. Надо сказать, что получение безрисковой прибыли путем использования разных цен на ценные бумаги, что собственно и называется арбитражем, является широко распространенной инвестиционной тактикой. Инвесторы стремятся получить доходы при каждой возможности: продавая ценные бумаги по высокой цене и одновременно приобретая такие же ценные бумаги по относительно низкой цене. Для реализации арбитражного подхода как правило используется факторный анализ курса ценных бумаг. При этом делается предположение о том, что можно увеличить доходность своего портфеля без увеличения риска. Однако существует ряд систематических факторов, влияющих на риск и доходность ценной бумаги, что серьезным образом препятствует широкому применению модели APT на практике

Страницы: 1, 2