Дерево распределения цены акций

Сущность процедуры последовательного дисконтирования с целью определения стоимости опциона в каждой точке пересечения ветвей дерева.

Анализируя динамику курса акций без дивидендов на каждом временном периоде, можно построить дерево распределения цены акции для всего периода действия опционного контракта (рис. 2). Если известна начальная цена акции, равная Р а, то за первый период t l ее курс может составить Р и или P d. За второй период t 2 соответственно или Р и 2 или Р d 2 и т. д.

Рисунок 2. Дерево распределения цены акции для четырёх временных периодов.

Поскольку период действия опционного контракта рассчитан, как правило, на большое число интервалов времени, то делается допущение, что прирост курсовой стоимости и равен 1, деленной на процент падения курсовой стоимости, т.е. и = 1 / d. К моменту истечения срока действия контракта цена опциона может принимать два значения, а именно, О или Р-Е для опциона «колл» и О или E - P для опциона «пут», где Е — цена исполнения опциона; Р — курс акции. Для того чтобы рассчитать стоимость опциона в начале периода Т, необходимо определить стоимость опциона для начала каждого периода t, т.е. в каждой точке пересечения ветвей дерева. Эту задачу решают последовательным дисконтированием. Если известна стоимость опциона в конце периода Т, то для получения его стоимости в начальном периоде выполняется дисконтирование. В условиях отсутствия риска ожидаемый доход от акции на период t должен составить Се rt, где r — непрерывно начисляемая с помощью сложных процентов ставка без риска. С учетом значения математического ожидания ожидаемый доход будет равен:

Cеn = pCu+(1-p)Cd

или

Еn=рu+(1-р)d

из этой формулы найдем:

р=Еn-d/u-d

Определение процента прироста или падения курсовой стоимости акций, определение вероятности повышения или понижения курса акций. Прирост или падение курсовой стоимости акции, зависит от фактора времени, в течение которого могут наблюдаться изменения курса ценной бумаги и ее стандартного отклонения. Отсюда вытекают следующие зависимости:

где и и d — соответственно «верхнее» и нижнее положение курсовой стоимости акции.

Таким образом, формулы позволяет оценить вероятность повышения или понижения курса акций.

Пример. Пусть курс акций в начале периода равен 40 дол., стандартное отклонение цены акции — 35%, непрерывно начисляемая ставка без риска 10%. Определить вероятность повышения и понижения курса акций через месяц.

Используя указанные формулы расчета, получим:

Следовательно, вероятность повышения курса акции через один месяц составляет 0,5163, а вероятность его понижения — 0,4837. Зная значения и и d, можно рассчитать курсовую стоимость акции для любого периода времени, т.е. для каждой точки пересечения ветвей дерева, к примеру указанного на рис.2. Если же рассматривается биноминальная модель для акций, по которым выплачиваются дивиденды, что в основном сказывается на размере премии, то курс акций на дату учета снижается на величину выплачиваемого дивиденда. Соответственно, дерево распределения цены акции принимает с учетом допущения вид, аналогичный указанному выше. Последовательным дисконтированием цен опциона (с учетом вероятности повышения и понижения стоимости актива на каждом интервале времени) получают значение его цены в момент заключения контракта. При этом чистая цена акции уменьшается на величину приведенной (дисконтированной) стоимости дивиденда, имеющего место в течение срока исполнения опциона.

Дерево распределения премии европейского опциона

На рисунке 3 показаны узлы А и В, отвечающие моменту времени Т, и узлы С и D отвечающие моменту времени Т − ∆ t, узел Е отвечающий моменту времени Т − 2∆ t. Пусть S – цена акции для узла С, S' – цена акции для узла В, и S" – цена акции для узла А. V' – цена опциона для узла В, и V" – цена опциона для узла А. Цены опциона для всех узлов, отвечающих моменту времени Т, определяются однозначно. Например если мы рассматриваем опцион «колл», то его цена для узлов В и А определяется по следующим формулам:

Если мы рассматриваем опцион «пут», то:

От конкретного способа определения цен опциона для узлов, отвечающих моменту времени Т, последующие этапы алгоритма не зависят. Важно, что для момента времени Т для всех узлов цена опциона известна. Ближайшей задачей является определение цены опциона V для узла С. В момент времени Т − ∆ t, находясь в узле С, мы хотим составить портфель из акций и безрисковых облигаций (с погашением в момент времени Т) так, чтобы при любом возможном для узла С исходе (т.е. при переходе либо в узел А либо в узел В), цена этого портфеля в момент времени Т совпала бы с ценой опциона. Т.е. цена этого портфеля должна быть равна V' в узле В и V" в узле А. Портфель с таким свойством, если он существует, называется синтетическим опционом. Если удастся построить такой портфель, то его цена в момент времени Т − ∆ t и должна быть принята за цену опциона для узла С. Противное означало бы наличие арбитража.

Построим для момента времени Т − ∆ t и цены акции S (т.е. для узла С) синтетический опцион из δ акций и ν безрисковых облигаций (с погашением в момент времени Т). Должны выполняться условия:

Эта система алгебраических уравнений имеет единственное решение:

Таким образом:

Формулы (2) и (3) определяют цену опциона для узла С. Аналогично может быть определена цена опциона для узла D а также для всех остальных узлов отвечающих моменту времени Т − ∆ t.

Обозначим цену опциона через V' для узла D, и через V" – цену опциона для узла. С, тогда цена опциона для узла Е может быть рассчитана по формулам (2) и (3) только вместо

в формуле (3) должно стоять:

Тем же способом можно определить цену опциона и для всех остальных узлов биноминального дерева, в том числе и для узла отвечающего моменту времени 0. Это и есть искомая цена опциона.

Дерево распределения премии американского опциона

Биноминальная модель может быть использована и для расчетов цен американского опциона. Рассмотрим, например, американский пут. Обратимся к следующей формуле:

К – цена исполнения опциона, S – цена акции для узла С, V' и V" – цены опциона для узлов В и А, цена американского опциона пут, рассчитывается по формуле:

Причем пут, должен быть исполнен в узле С если:

и не должен быть исполнен в противном случае. Естественно, что при расчете цены для узла Е в качестве цены опциона в узле С должна быть принята именно так найденная цена V. Поэтому цена опциона в узле Е включает в себя возможность раннего исполнения не только в этом узле, но и возможность раннего исполнения в узлах С и D. Цены американского опциона колл совпадают с ценой европейского опциона колл, если по акции не выплачиваются дивиденды. Для опционов пут положение совсем другое. Например, при значении волатильности σ = 0,04 цена американского пута почти втрое выше, чем европейского. Обратим также внимание на высокую зависимость цены от волатильности. Например, для европейского опциона пут увеличение пута в 5 раз приводит к увеличению цены опциона более чем в 25 раз. Это обстоятельство является очень важным, поскольку волатильность цены акции – это тот параметр, при выборе которого имеется произвол. При более аккуратных расчетах волатильность считают не числом, а случайным процессом.

Специфика и общие черты определения премий европейского и американского опциионных контрактов

Суть опциона состоит в том, что по нему одна из сторон (покупатель опциона) может по своему усмотрению либо исполнить контракт, либо отказаться от его исполнения. За полученное право выбора покупатель опциона выплачивает продавцу определенное вознаграждение, называемое премией. Продавец опциона должен исполнить свои контрактные обязательства, если покупатель (держатель) опциона решает исполнить опционный контракт. Покупатель может продать/купить базисный актив опционного контракта только по той цене, которая в контракте зафиксирована и называется ценой исполнения. Опционы различаются по стилю: Европейский опцион, или опцион Европейского стиля (European option, European style) и Американский опцион, или опцион Американского стиля (American option, American style).

Основное различие между ними в том, что они имеют разные условия исполнения по срокам. Далее можно будет увидеть, что в силу влияния такого фактора, как срок жизни опционного контракта, стоимости (премии) европейского и американского опционов различны.

Европейский опцион может быть исполнен в течение очень ограниченного периода времени в районе" срока истечения опциона, Формально считается, что это день, который определен в качестве даты исполнения опционных контрактов. Однако практика размещения приказов и процедура сверки предопределяют несколько более широкие границы, которые тем не менее все равно укладываются в некоторое количество часов, не слишком сильно расширяющих горизонты.

Американский опцион может быть исполнен в любой момент времени до истечения срока опциона, Для такого опциона исполнение определяется исключительно правилами, которые действуют в текущий момент времени в отношении сроков поставки актива, лежащего в его основе, а также возможностей брокера, через которого осуществляются one. рации на рынке. Также могут существовать ограничения в количестве исполняемых опционных контрактов на протяжении одного торгового дня. Обычно это — 2000 опционных контрактов.

Премия состоит из двух компонентов: внутренней стоимости и временной стоимости. Внутренняя стоимость – это разность между текущим курсом базисного актива и ценой исполнения опциона. Временная стоимость – это разность между суммой премии и внутренней стоимостью. Чем больше срок действия опционного контракта, тем больше временная стоимость, так как риск продавца больше, и, естественно, больше сумма его премии.

Для покупателя опциона колл можно сформулировать общее правило действия: опцион колл исполняется, если спотовая цена базисного актива к моменту истечения срока действия контракта (европейский опцион) или на любой момент его действия (американский опцион) выше цены исполнения, и не исполняется, если она равна или ниже цены исполнения. Прибыль держатель опциона получит тогда, когда курс актива превысит сумму цены исполнения и премии, уплаченной продавцу. Чем выше по сравнению с ценой исполнения опциона спотовая цена базисного актива, тем больше выигрыш покупателя, так как он исполнит опционный контракт по меньшей цене и продаст базисный актив на спотовом рынке по более высокой цене.

Общее правило действия для покупателя опциона пут можно сформулировать следующим образом. Опцион пут исполняется, если к моменту истечения срока действия контракта (европейский опцион) или на любой момент его действия (американский опцион) спотовая цена базисного актива меньше цены исполнения, и не исполняется, если она равна или выше цены исполнения. Максимальный проигрыш для покупателя опциона пут составляет лишь величину уплаченной премии, выигрыш может быть большим, если спот-цена базисного актива сильно упадет.

Динамика курса акций для одного периода биноминальной модели

Биноминальная модель основывается на концепции формирования инвестиционного портфеля без риска. Поэтому для дисконтирования используется процент, равный ставке без риска для инвестиций, соответствующих времени действия опционного контракта. Для этого весь период действия опционного контракта разбивается на ряд интервалов времени t, в течение каждого из которых курс акций может «пойти» вверх с вероятностью р или вниз с вероятностью 1- р (см. рис. 4). В конце периода акция соответственно стоит Р и или Р d, где и - процент прироста курсовой стоимости акций, поэтому u > 1, a d - процент падения курсовой стоимости, т.е. d < 1.

Рисунок 4. Динамика курса акции для одного периода биноминальной модели.

Практическое значение биноминальной модели определения премии опционных контрактов

Модели оценки опционов - это разновидности стандартной модели дисконтированного денежного потока с той лишь поправкой, что в них учитывается возможность изменения управленческих решений в будущем по мере поступления новой информации. Особенно полезными модели оценки опционов обещают быть в тех случаях, когда нужно оценить стоимость стратегической и оперативной гибкости, - в частности, возможности, открыть и закрыть предприятие, прекратить ту или иную деятельность, а также с использованием различных возможностей, связанных с будущим состояние внешней среды.

До недавнего времени теория опционов не считалась особо важным разделом теории управления финансами корпорации (в отличие от теории инвестиций). Действительно, в финансовой практике корпораций она применяется лишь для того, чтобы помочь объяснить характерные особенности таких финансовых инструментов. Однако некоторые решения, принимаемые в сфере финансового менеджмента, могут быть лучше проанализированы и поняты именно в рамках теории опционов.

Проекты, осуществляемые фирмами, предполагают "стратегическую оценку", которая не может быть обоснована и исчислена в рамках традиционного анализа дисконтированных денежных потоков. Более достоверная оценка может быть получена с помощью аппарата теории опционов. Многие инвестиционные возможности в реальном секторе экономики могут рассматриваться как своего рода "реальные опционы". По сути, все управленческие решения можно рассматривать в категории теории опционов. Реальный опцион дает возможность его владельцу совершить определенное действие (например, отсрочить исполнение проекта, расширить существующее производство, заключить договор или отказаться от уже начатого проекта, принять то или иное управленческое решение и т.п.), влияющее на будущие денежные потоки или другие параметры бизнеса. Несмотря на то, что реальные опционы можно найти практически в любом бизнесе, их не всегда легко определить.

Биноминальная модель Кокса, Росса и Рубинштейна используется для оценки премии американских опционов, прежде всего опционов пут. Весь период действия опционного контракта разбивается на ряд интервалов времени.

Считается, что в течение каждого из них цена базисного актива может пойти вверх или вниз с определенной вероятностью. Получают значение цены базисного актива для каждого интервала времени, учитывая данные о стандартном отклонении его курса (строят дерево распределения цены), также определяют вероятность повышения и понижения курсовой стоимости актива на каждом отрезке временного интервала. Возможные цены опциона в данное время определяются, опираясь на значения цен актива к моменту истечения опциона.

После этого последовательным дисконтированием цен опциона (с учетом вероятности повышения и понижения стоимости актива на каждом интервале времени) получают значение его цены в момент заключения контракта.

Модели опционного ценообразования (Блэка-Шоулса, Мертона и др.), могут быть использованы для оценки реальных опционов, однако с некоторыми допущениями и особенностями.

Базовые активы не являются торгуемыми.

Изменение цены актива – процесс непрерывный.

Отклонение известно и не меняется в течение жизни опциона.

Единовременная реализация модели опционного ценообразования базируются на предпосылке, что опцион реализуется мгновенно.

В опционах по расширению проекта эффективность реального опциона достигается не посредством увеличения чистого дисконтированного дохода NPVonu.пес по проекту при осуществлении хеджированного опционом пессимистического сценария, а возрастанием чистой текущей стоимости NPVonu.опт соответствующей оптимистическому сценарию проекта.

На сколько показатель NPVoпц (при планировании реального опциона и с учетом затрат на него, которые принимаются во внимание при расчете данного показателя) превышает чистую текущую стоимость (чистый дисконтированный доход) проекта, если он не поддержан реальным опционом (NPV), и понимается как мера эффективности реального опциона

(λ): λ= NPVoпц - N PV

Список использованной литературы

Р.Пайк, Б.Нил «Корпоративные финансы и инвестирование», 2005г.

Галанов В.Ф. Рынок ценных бумаг, 2-е издание, уч., 2006г.

Четыркин Е.Н. Финансовая математика, уч. 2003г.

Экономический журнал ВШЭ №3 1998г. «О математических методах при работе с опционами», Шведов А.С.

Колтынюк Б.А. Инвестиции. 2000г.

Страницы: 1, 2