,                                                     (33)

где  средний уровень ряда (см. формулу (32)).

2.4 Прогнозирование экономических показателей.

При экстраполяционном прогнозировании экономической динамики на основе временных рядов с использованием трендовых моделей выполняются следующие основные этапы:

1)            предварительный анализ данных;

2)            формирование набора моделей (например, набора кривых роста), называемых функциями-кандидатами;

3)            численное оценивание параметров моделей;

4)            определение адекватности моделей;

5)            оценка точности адекватных моделей;

6)            выбор лучшей модели;

7)            получение точечного и интервального прогнозов;

8)            верификация прогноза.

Прогноз на основании трендовых моделей  (кривых роста) содержит два элемента: точечный и интервальный прогнозы. Точечный прогноз - это прогноз, которым называется единственное значение прогнозируемого показателя. Это значение определяется подстановкой в уравнение выбранной кривой роста величины времени t, соответствующей периоду упреждения: t = n + 1; t = n + 2 и т.д. Такой прогноз называется точечным, так как на графике его можно изобразить в виде точки. Очевидно, что точное совпадение фактических данных в будущем и прогностических точечных оценок маловероятно. Поэтому точечный прогноз должен сопровождаться двусторонними границами, т.е. указанием интервала значений, в котором с достаточной долей уверенности можно ожидать появления прогнозируемой  величины. Установление такого интервала называется интервальным прогнозом.

Интервальный прогноз на базе трендовых моделей осуществляется путем расчета доверительного интервала - такого интервала, в котором с определенной вероятностью можно ожидать появления фактического значения прогнозируемого экономического показателя. Расчет доверительных интервалов при прогнозировании с использованием кривых роста опирается на выводы и формулы теории регрессий. Методы, разработанные для статистических совокупностей, позволяют определить доверительный интервал, зависящий от стандартной ошибки оценки прогнозируемого показателя, от времени упреждения прогноза, от количества уровней во временном ряду и от уровня значимости (ошибки) прогноза.

2.4.1.Трендовые модели на основе кривых роста.

Основная цель создания трендовых моделей экономической динамики - на их основе сделать прогноз о развитии изучаемого процесса на предстоящий промежуток времени. Прогнозирование на основе временного ряда экономических показателей относится к одномерным методам прогнозирования, базирующимся на экстраполяции, т.е. на продлении на будущее тенденции, наблюдавшейся в прошлом. При таком подходе предполагается, что прогнозируемый показатель формируется под воздействием большого количества факторов, выделить которые либо невозможно, либо по которым отсутствует информация. В этом случае ход изменения данного показателя связывают не с факторами, а с течением времени, что проявляется в образований одномерных временных рядов. Рассмотрим метод экстраполяции на основе так называемых кривых роста экономической динамики.

Использование метода экстраполяции на основе кривых роста для прогнозирования базируется на двух предположениях:

-    временной   ряд экономического показателя действительно имеет тренд, т.е. преобладающую тенденцию;

-    общие   условия,   определявшие   развитие   показателя   в прошлом, останутся без существенных изменений в течение периода упреждения.

2.4.1.1. Выбор типа кривых роста.

В настоящее время насчитывается большое количество типов кривых роста для экономических процессов. Наиболее часто в экономике используются полиномиальные, экспоненциальные и S-образные кривые роста. Простейшие полиномиальные кривые роста имеют вид:

 (полином первой степени)

 (полином второй степени)

 (полином третьей степени)

и т.д.

Параметр а1 называют линейным приростом,

параметр а2 - ускорением роста,

параметр а3 - изменением ускорения роста.

Для полинома первой степени характерен постоянный закон роста. Если рассчитать первые приросты по формуле ut = yt - yt-i  , t = 2, 3, ..., n, то они будут постоянной величиной и равны а1.

Если первые приросты рассчитать для полинома второй степени, то они будут иметь линейную зависимость от времени и ряд из первых приростов u2, u3, …  на графике будет представлен прямой линией. Вторые приросты  для полинома второй степени будут постоянны.

Для полинома третьей степени первые приросты будут полиномами второй степени, вторые приросты будут линейной функцией времени, а третьи приросты, рассчитываемые по формуле  будут постоянной величиной.

Можно отметить следующие свойства полиномиальных кривых роста:

-    от полинома высокого порядка можно путем расчета последовательных разностей (приростов) перейти к полиному более низкого порядка;

-    значения приростов для полиномов любого порядка не зависят от значений самой функции .

Таким образом, полиномиальные кривые роста можно использовать для аппроксимации (приближения) и прогнозирования экономических процессов, в которых последующее развитие не зависит от достигнутого уровня.

В отличие от использования полиномиальных кривых использование экспоненциальных кривых роста предполагает, что дальнейшее развитие зависит от достигнутого уровня, например, прирост зависит от значения функции. В экономике чаще всего применяются две разновидности экспоненциальных (показательных) кривых: простая экспонента и модифицированная экспонента.

Простая экспонента представляется в виде функции

                                                                   (34)

где a и b — положительные числа, при этом если b больше единицы, то функция возрастает с ростом времени t, если b меньше единицы - функция убывает.

Модифицированная экспонента имеет вид

                                                                (35)

где постоянные величины: а меньше нуля, b положительна и меньше единицы, а константа k носит название асимптоты этой функции, т.е. значения функции неограниченно приближаются (снизу) к величине k. Могут быть другие варианты модифицированной   экспоненты, но на практике наиболее часто встречается указанная выше функция.

В экономике достаточно распространены процессы, которые сначала растут медленно, затем   ускоряются, а затем снова замедляют свой рост, стремясь к какому-либо пределу. В качестве примера можно привести процесс ввода некоторого объекта в промышленную эксплуатацию, процесс изменения спроса на товары, обладающие способностью достигать неко торого уровня насыщения, и др. Для моделирования таких процессов используются так называемые S-образные кривые роста, среди которых выделяют кривую Гомперца и логистическую кривую.

Кривая Гомперца имеет аналитическое выражение

                                                                     (36)

где а, b  -  положительные  параметры, причем   b меньше единицы;

параметр k - асимптота функции.

В кривой Гомперца выделяются четыре участка: на первом - прирост функции незначителен, на втором - прирост увеличивается, на третьем участке прирост примерно постоянен, на четвертом - происходит замедление темпов прироста и функция неограниченно приближается к значению k. В результате конфигурация кривой напоминает латинскую букву S.

Логарифм данной функции является экспоненциальной кривой; логарифм отношения первого прироста к самой ординате функции - линейная функция времени. На основании кривой Гомперца описывается, например, динамика показателей уровня жизни; модификации этой кривой  используются в демографии для моделирования показателей смертности и т. д.

Логистическая кривая, или кривая Перла-Рида - возрастающая функция, наиболее часто выражаемая в виде

;                                                            (37)

другие виды этой кривой:

;   .                                           (38)        

где а и b — положительные параметры;

k — предельное значение функции при бесконечном возрастании времени.

Если взять производную данной функции, то можно увидеть, что скорость возрастания логистической кривой в каждый момент времени пропорциональна достигнутому уровню функции и разности между предельным значением k и достигнутым уровнем. Логарифм отношения первого прироста функции к квадрату ее значения (ординаты) есть линейная функция от времени.

Конфигурация графика логистической кривой близка графику кривой Гомперца, но в отличие от последней логистическая кривая имеет точку симметрии, совпадающую с точкой перегиба.

Рассмотрим проблему предварительного выбора вида кривой роста для конкретного временного ряда. Допустим, имеется временной ряд   y1 , y2 , … ,  yn .

Для выбора вида полиномиальной кривой роста наиболее распространенным методом является метод конечных разностей (метод Тинтнера). Этот метод может быть использован для предварительного выбора полиномиальной кривой, если, во-первых, уровни временного ряда состоят только из двух компонент: тренд и случайная компонента, и, во-вторых, тренд является достаточно гладким, чтобы его можно было аппроксимировать полиномом некоторой степени.

На первом этапе этого метода вычисляются разности (приросты) до k-го порядка включительно:

;

;                                                                     (39)

.   .   .   .   .   .   .   .    

.

Для аппроксимации экономических процессов обычно вычисляют конечные разности до четвертого порядка.

Затем для исходного ряда и для каждого разностного ря­да вычисляются дисперсии по следующим формулам:

для исходного ряда

        ;                                              (40)

для разностного ряда k-го порядка (k = 1, 2, ...)

     ;                                                      (41)

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11