где - биномиальный коэффициент.

Производится сравнение отклонений каждой последую­щей дисперсии от предыдущей, т.е. вычисляются величины

 ,                                                              (42)

и если для какого-либо k эта величина не превосходит неко­торой наперед заданной положительной величины, т.е. дисперсии одного порядка, то степень аппроксимирующего полинома должна быть равна k - 1.

Более универсальным методом предварительного выбора кривых роста, позволяющим выбрать кривую из широкого класса кривых роста, является метод характеристик прироста. Он основан на использовании отдельных характерных свойств кривых, рассмотренных выше. При этом методе исходный временной ряд предварительно сглаживается методом простой скользящей средней. Например, для интервала сглаживания m = 3 сглаженные уровни рассчитываются по формуле

 ,                                                          (43)

причем чтобы не потерять первый и последний уровни, их сглаживают по формулам

  ,     .                           (44)

Затем вычисляются первые средние приросты

, t = 2, 3, … , n-1;                                                (45)

вторые средние приросты

,                                                              (46)

а также ряд производных величин, связанных с вычисленными средними приростами и сглаженными уровнями ряда:

;   ;   ;   .

В соответствии с характером изменения средних приростов и производных показателей выбирается вид кривой роста для исходного временного ряда, при этом используется табл. 1.

Таблица 1

Выбор кривой роста в соответствии с изменением приростов и производных показателей

На практике при предварительном выборе отбирают обычно две-три кривые роста для дальнейшего исследования и построения трендовой модели данного временного ряда.

2.4.1.2. Методы определения параметров отобранных кривых роста.

Параметры полиномиальных кривых оцениваются, как правило, методом наименьших квадратов, суть которого заключается в том, чтобы сумма квадратов отклонений фактических уровней ряда от соответствующих выровненных по кривой роста значений была наименьшей. Этот метод приводит к системе так называемых нормальных уравнений для определения неизвестных параметров отобранных кривых.

Для полинома первой степени

  система нормальных уравнений имеет вид:

(47)

,

;

где знак суммирования распространяется на все моменты наблюдения (все уровни) исходного временного ряда. Аналогичная система для полинома второй степени

имеет вид

,

 ,                                                                                 (48)

;

и т.д.

Параметры экспоненциальных и S-образных кривых находятся более сложными методами. Для простой экспоненты    предварительно логарифмируют выражение по некоторому основанию (например, десятичному или натуральному):

т.е. для логарифма функции получают линейное выражение, а затем для неизвестных параметров log a и log b составляют на основе метода наименьших квадратов систему нормальных уравнений, аналогичную системе для полинома первой степени. Решая эту систему, находят логарифмы параметров, а затем и сами параметры модели.

При определении параметров кривых роста, имеющих асимптоты (модифицированная экспонента, кривая Гомперца, логистическая кривая), различают два случая. Если значение асимптоты k известно заранее, то путем несложной модификации формулы и последующего логарифмирования определение параметров сводят к решению системы нормальных уравнений, неизвестными которой являются логарифмы параметров кривой.

Если значение асимптоты заранее неизвестно, то для нахождения параметров указанных выше кривых роста используются приближенные методы: метод трех точек, метод трех сумм и др. Таким образом, при моделировании экономической динамики, заданной временным рядом, путем сглаживания исходного ряда, определения наличия тренда, отбора одной или нескольких кривых роста и определения их параметров в случае наличия тренда получают одну или несколько трендовых моделей для исходного временного ряда.

2.4.1.3. Определение адекватности трендовой модели.

Независимо от вида и способа построения экономико-математической модели вопрос о возможности ее применения в целях анализа и прогнозирования экономического явления может быть решен только после установления адекватности, т.е. соответствия модели исследуемому процессу или объекту. При моделировании имеется в виду адекватность не вообще, а по тем свойствам модели, которые считаются существенными для исследования.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11