* Приставки "гекто", "дека", "деци" и "санти" допускается применять только для единиц, получивших широкое распространение, например: дециметр, сантиметр, декалитр, гектолитр.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ С ПРИБЛИЖЕННЫМИ ЧИСЛАМИ

В результате измерений, а также при проведении многих математических операций получаются приближенные значения искомых величин. Поэтому необходимо рассмотреть ряд правил вычислений с приближенными значениями. Эти правила позволяют уменьшить объем вычислительной работы и исключить дополнительные погрешности. Приближенные значения имеют такие величины, как , логарифмы и т. п., различные физические постоянные, результаты измерений.

Как известно, любое число записывают с помощью цифр: 1, 2, …, 9, 0; при этом значащими цифрами считают 1, 2, …, 9. Нуль может быть как значащей цифрой, если он стоит в середине или конце числа, так и незначащей, если он стоит в десятичной дроби с левой стороны и указывает лишь разряд остальных цифр.

При записи приближенного числа следует учитывать, что цифры, составляющие его, могут быть верными, сомнительными и неверными. Цифра верна, если абсолютная погрешность числа меньше одной единицы разряда этой цифры (слева от нее все цифры будут верными). Сомнительной называют цифру, стоящую справа от верной цифры, а цифры справа от сомнительной неверные. Неверные цифры необходимо отбросить не только в результате, но и в исходных данных. Округлять число при этом не нужно. Когда погрешность числа не указана, то следует считать, что абсолютная погрешность его равна половине единицы разряда последней цифры. Разряд старшей цифры погрешности показывает разряд сомнительной цифры в числе. В качестве значащих цифр могут быть только верные и сомнительные цифры, но если погрешность числа не указана, то все цифры значащие.

Следует применять следующее основное правило записи приближенных чисел (в соответствии со СТ СЭВ 543-77): приближенное число должно быть записано с таким числом значащих цифр, которое гарантирует верность последней значащей цифры числа, например:

1) запись числа 4,6 означает, что верны только цифры целых и десятых (истинное значение числа может быть 4,64; 4,62; 4,56);

2) запись числа 4,60 означает, что верны и сотые доли числа (истинное значение числа может быть 4,604; 4,602; 4,596);

3) запись числа 493 означает, что верны все три цифры; если за последнюю цифру 3 ручаться нельзя, это число должно быть записано так: 4,9·102;

4) при выражении плотности ртути 13,6 г/см3 в единицах СИ (кг/м3) следует писать 13,6·103 кг/м3 и нельзя писать 13600 кг/м3, что означало бы верность пяти значащих цифр, в то время как в исходном числе приведены только три верные значащие цифры.

Результаты экспериментов записывают только значащими цифрами. Запятую ставят сразу после отличной от нуля цифры, а число умножают на десять в соответствующей степени. Нули, стоящие в начале или конце числа, как правило, не записывают. Например, числа 0,00435 и 234000 записываются так 4,35·10-3 и 2,34·105. Подобная запись упрощает вычисления, особенно в случае формул, удобных для логарифмирования.

Округление числа (в соответствии со СТ СЭВ 543-77) представляет собой отбрасывание значащих цифр справа до определенного разряда с возможным изменением цифры этого разряда.

При округлении последняя сохраняемая цифра не изменяется, если:

1) первая отбрасываемая цифра, считая слева направо, меньше 5;

2) первая отбрасываемая цифра, равная 5, получилась в результате предыдущего округления в большую сторону.

При округлении последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу, если

1) первая отбрасываемая цифра больше 5;

2) первая отбрасываемая цифра, считая слева направо, равна 5 (при отсутствии предыдущих округлений или при наличии предыдущего округления в меньшую сторону).

Округление следует выполнять сразу до желаемого числа значащих цифр, а не по этапам, что может привести к ошибкам.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА И КЛАССИФИКАЦИЯ НАУЧНЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ

Каждый эксперимент представляет собой совокупность трех составных частей: исследуемого явления (процесса, объекта), условий и средств проведения эксперимента. Эксперимент проводится в несколько этапов:

1) предметно-содержательное изучение исследуемого процесса и его математическое описание на основе имеющейся априорной информации, анализ и определение условий и средств проведения эксперимента;

2) создание условий для проведения эксперимента и функционирования исследуемого объекта в желаемом режиме, обеспечивающем наиболее эффективное наблюдение за ним;

3) сбор, регистрация и математическая обработка экспериментальных данных, представление результатов обработки в требуемой форме;

4) содержательный анализ и интерпретация результатов эксперимента;

5) использование результатов эксперимента, например коррекция физической модели явления или объекта, применение модели для прогноза, управления или оптимизации и др.

В зависимости от типа исследуемого объекта (явления) выделяют несколько классов экспериментов: физические, инженерные, медицинские, биологические, экономические, социологические и др. Наиболее глубоко разработаны общие вопросы проведения физических и инженерных экспериментов, в которых исследуются естественные или искусственные физические объекты (устройства) и протекающие в них процессы. При их проведении исследователь может неоднократно повторять измерения физических величин в сходных условиях, задавать желаемые значения входных переменных, изменять их в широких масштабах, фиксировать или устранять влияние тех факторов, зависимость от которых в настоящий момент не исследуется.

Классификацию экспериментов можно провести по следующим признакам:

1) степени близости используемого в эксперименте объекта к объекту, в отношении которого планируется получение новой информации (натурный, стендовый или полигонный, модельный, вычислительный эксперименты);

2) цели проведения – исследование, испытание (контроль), управление (оптимизация, настройка);

3) степени влияния на условия проведения эксперимента (пассивный и активный эксперименты);

4) степени участия человека (эксперименты с использованием автоматических, автоматизированных и неавтоматизированных средств проведения эксперимента).

Результатом эксперимента в широком смысле является теоретическое осмысление экспериментальных данных и установление законов и причинно-следственных связей, позволяющих предсказывать ход интересующих исследователя явлений, выбирать такие условия, при которых удается добиться требуемого или наиболее благоприятного их протекания. В более узком смысле под результатом эксперимента часто понимается математическая модель, устанавливающая формальные функциональные или вероятностные связи между различными переменными, процессами или явлениями.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О СРЕДСТВАХ ПРОВЕДЕНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА

Исходная информация для построения математической модели исследуемого явления добывается с помощью средств проведения эксперимента, представляющих собой совокупность средств измерений различных типов (измерительных устройств, преобразователей и принадлежностей к ним), каналов передачи информации и вспомогательных устройств для обеспечения условий проведения эксперимента. В зависимости от целей эксперимента иногда различают измерительные информационные (исследование), измерительные контролирующие (контроль, испытание) и измерительные управляющие (управление, оптимизация) системы, которые различаются как составом оборудования, так и сложностью обработки экспериментальных данных. Состав средств измерений в существенной степени определяется математической моделью описываемого объекта.

В связи с возрастанием сложности экспериментальных исследований в состав современных измерительных систем включаются вычислительные средства различных классов (ЭВМ, программируемые микрокалькуляторы). Эти средства выполняют как задачи сбора и математической обработки экспериментальной информации, так и задачи управления ходом эксперимента и автоматизации функционирования измерительной системы. Эффективность применения вычислительных средств при проведении экспериментов проявляется в следующих основных направлениях:

1) сокращение времени подготовки и проведении эксперимента в результате ускорения сбора и обработки информации;

2) повышение точности и достоверности результатов эксперимента на основе использования более сложных и эффективных алгоритмов обработки измерительных сигналов, увеличении объема используемых экспериментальных данных;

3) сокращение числа исследователей и появление возможности создания автоматических систем;

4) усиление контроля за ходом проведения эксперимента и повышение возможностей его оптимизации.

Таким образом, современные средства проведения эксперимента представляют собой, как правило, измерительно-вычислительные системы (ИВС) или комплексы, снабженные развитыми вычислительными средствами. При обосновании структуры и состава ИВС необходимо решить следующие основные задачи:

1) определить состав аппаратной части ИВС (средств измерения, вспомогательного оборудования);

2) выбрать тип ЭВМ, входящей в состав ИВС;

3) установить каналы связи между ЭВМ, устройствами, входящими в аппаратную часть ИВС, и потребителем информации;

4) разработать программное обеспечение ИВС.

ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА И СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Большинство исследований проводят для установления с помощью эксперимента функциональных или статистических связей между несколькими величинами или для решения экстремальных задач. Классический метод постановки эксперимента предусматривает фиксирование на принятых уровнях всех переменных факторов, кроме одного, значения которого определенным образом изменяют в области его определения. Этот метод составляет основу однофакторного эксперимента (такой эксперимент часто называют пассивным). При однофакторном эксперименте, варьируя один фактор и стабилизируя все прочие на выбранных уровнях, находят зависимость исследуемой величины только от одного фактора. Производя большое число однофакторных экспериментов при изучении многофакторной системы, получают частотные зависимости, представленные многими графиками, имеющими иллюстративный характер. Найденные таким образом частные зависимости невозможно объединить в одну большую. В случае однофакторного (пассивного) эксперимента статистические методы применяют после окончания экспериментов, когда данные уже получены.

Использование однофакторного эксперимента для всестороннего исследования многофакторного процесса требует постановки очень большого числа опытов. Для их выполнения в ряде случаев необходимо значительное время, в течение которого влияние неконтролируемых факторов на результаты опытов может существенно измениться. По этой причине данные большого числа опытов оказываются несопоставимыми. Отсюда следует, что результаты однофакторных экспериментов, полученные при исследовании многофакторных систем, часто малопригодны для практического использования. Кроме того, при решении экстремальных задач данные значительного числа опытов оказываются ненужными, так как получены они для области, далекой от оптимума. Для изучения многофакторных систем наиболее целесообразным является применение статистических методов планирования эксперимента.

Под планированием эксперимента понимают процесс определения числа и условий проведения опытов, необходимых и достаточных для решения поставленной задачи с требуемой точностью.

Планирование эксперимента – это раздел математической статистики. В нем рассматриваются статистические методы планирования эксперимента. Эти методы позволяют во многих случаях при минимальном числе опытов получать модели многофакторных процессов.

Эффективность использования статистических методов планирования эксперимента при исследовании технологических процессов объясняется тем, что многие важные характеристики этих процессов являются случайными величинами, распределения которых близко следуют нормальному закону.

Характерными особенностями процесса планирования эксперимента являются стремление минимизировать число опытов; одновременное варьирование всех исследуемых факторов по специальным правилам – алгоритмам; применение математического аппарата, формализующего многие действия исследователя; выбор стратегии, позволяющей принимать обоснованные решения после каждой серии опытов.

При планировании эксперимента статистические методы применяются на всех этапах исследования и, прежде всего, перед постановкой опытов, разрабатывая схему эксперимента, а также в ходе эксперимента, при обработке результатов и после эксперимента, принимая решения о дальнейших действиях. Такой эксперимент называют активным и он предполагает планирование эксперимента.

Основные преимущества активного эксперимента связаны с тем, что он позволяет:

1) минимизировать общее число опытов;

2) выбирать четкие логически обоснованные процедуры, последовательно выполняемые экспериментатором при проведении исследования;

3) использовать математический аппарат, формализующий многие действия экспериментатора;

4) одновременно варьировать всеми переменными и оптимально использовать факторное пространство;

5) организовать эксперимент таким образом, чтобы выполнялись многие исходные предпосылки регрессионного анализа;

6) получать математические модели, имеющие лучшие в некотором смысле свойства по сравнению с моделями, построенными из пассивного эксперимента;

7) рандомизировать условия опытов, т. е. многочисленные мешающие факторы превратить в случайные величины;

8) оценивать элемент неопределенности, связанный с экспериментом, что дает возможность сопоставлять результаты, получаемые разными исследователями.

Чаще всего активный эксперимент ставят для решения одной из двух основных задач. Первую задачу называют экстремальной. Она заключается в отыскании условий процесса, обеспечивающих получение оптимального значения выбранного параметра. Признаком экстремальных задач является требование поиска экстремума некоторой функции (*проиллюстрировать графиком*). Эксперименты, которые ставят для решения задач оптимизации, называют экстремальными.

Вторую задачу называют интерполяционной. Она состоит в построении интерполяционной формулы для предсказания значений изучаемого параметра, зависящего от ряда факторов.

Для решения экстремальной или интерполяционной задачи необходимо иметь математическую модель исследуемого объекта. Модель объекта получают, используя результаты опытов.

При исследовании многофакторного процесса постановка всех возможных опытов для получения математической модели связана с огромной трудоемкостью эксперимента, так как число всех возможных опытов очень велико. Задача планирования эксперимента состоит в установлении минимально необходимого числа опытов и условий их проведения, в выборе методов математической обработки результатов и в принятии решений.

ОСНОВНЫЕ ЭТАПЫ И РЕЖИМЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ

1. Содержательный анализ эксперимента, построение априорной вероятностной математической модели источника экспериментальных данных.

2. Составление плана эксперимента, в частности, определение значений независимых переменных, выбор тестовых сигналов, оценка объема наблюдений. Предварительное обоснование и выбор методов и алгоритмов статистической обработки экспериментальных данных.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6