Закон сохранения массы означает, что для любого  с поверхностью  изменение массы в  должно равняться количеству массы протекающему через .

Плотностью  в точке  пространства называют предел отношения массы  в элементарном объеме  этому объему, охватывающему точку , при стягивании его в эту точку, т.е.:

Тогда

где m - интегральный параметр, удовлетворяющий закону аддитивности,  -локальный параметр.

Выделим в пространстве неподвижную замкнутую поверхность  ограничивающую объем . Каждой точке выделенного объема  сопоставим вектор .

Рис.3.

Выберем на поверхности  ориентированный элемент поверхности, где – вектор внешней нормали,  - площадь выбранной площадки.

Тогда через элемент площади  входит или выходит количество массы сплошной среды , где – вектор потока массы.

Через всю поверхность войдет или выйдет количество массы

Будем предполагать, что источники и стоки отсутствуют, тогда закон сохранения массы запишется в виде:

В (2.4) знак минус в правой части объясняется тем, что если  образует с  острый угол, т.е., то  проходит через  изнутри наружу, т.е. масса в  убывает.

Уравнение (2.5) – уравнение неразрывности для массы в интегральной форме.

Проведем в первом интеграле (2.5) дифференцирование по  как по параметру (поскольку  не зависит от ), т.е. внесем производную под знак интеграла и заменим ее частной производную, поскольку подынтегральная функция  зависит от переменной интегрирования, получим:

Второй интеграл в равенстве (2.5) преобразуем в объемный, воспользовавшись теоремой Остроградского-Гаусса. Получим

где

Подставим (2.6), (2.7) в (2.5), и объединяя интегралы получим

Учитывая в (2.8) произвольность объема , получаем

Уравнение (2.9)– уравнение неразрывности для массы в дифференциальной форме.

2.2. Закон Фика

Закон Фика необходим для описания диффузии растворенного(радиоактивного) вещества пропорциональной градиенту их плотности. Плотность радиоактивных примесей является функцией от химического потенциала  

В уравнении (2.9) предыдущего параграфа вектор потока имеет вид

где  – конвекционная компонента вектора потока, связанная с потоком вещества (массы). Для случая, когда движение массы происходит только за счет конвекции, поток записывается в виде

– диффузионная компонента, возникает при наличии в системе градиента концентрации. Для диффузионного компонента справедлив I Закон Фика:

 – коэффициент концентрационной диффузии, (далее  будем опускать).

Диффузионный поток пропорционален градиенту плотности, взятому с обратным знаком.

Подставим (2.10) и (2.10*) в (*), получим

Подставим (2.11) в (2.9), получим

В (2.12) каждое слагаемое записали отдельно:

Преобразуем второе слагаемое в (2.12):

Во втором слагаемом в (2.13) осуществим круговую перестановку (знак не меняется, т.к. скалярное произведение).

Из выражения (2.13), получим

Преобразуем второе слагаемое в (2.12):

Условие не сжимаемости жидкости:

Подставив (2.14) и (2.15) в (2.12) получим

Если в (2.16) то получим уравнение диффузии (II Закон Фика):

2.3. Уравнение конвективной диффузии

Пусть имеется раствор с плотностью растворителя  и плотностью растворенного вещества –, тогда плотность раствора запишется в виде

 Запишем уравнение неразрывности для растворителя:

Диффузию не учитываем, потому что в жидкостях коэффициент диффузии мал.

Будем считать, что растворитель является несжимаемым, т.е.  не зависит от пространственных координат и

Тогда из выражения (2.19), получим

Запишем уравнение неразрывности для раствора:

В (2.22) подставим (2.18), получим

Учитывая (2.20), (2.21) и независимость  от пространственных координат, получим

Опустим штрих, предполагая в дальнейшем  – плотность примеси.

Поясним в (2.24) значение каждого слагаемое:

Первое слагаемое  описывает изменение массового содержания в рассматриваемой точке;

Второе слагаемое  отвечает за конвекцию;

Третье слагаемое  отвечает за диффузию.

Физический смысл уравнения (2.24) заключается в следующем: изменение концентрации, со временем, в рассматриваемой точке происходит за счет конвекции и диффузии.

На практике в (2.24) слагаемым  можно пренебречь, в силу его малости.

2.4. Метод характеристик

Пусть движение несущей жидкости происходит вдоль оси , тогда уравнение без диффузионной конвекции запишется

Одномерное уравнение без диффузионной конвекции (или конвекционное уравнение).

Задача Коши для уравнения (1).

Требуется найти функцию , где  и удовлетворяющую условиям:

Получим решение задачи методом характеристик.

Метод характеристик заключается в переходе от эйлеровых переменных  и  к лагранжевым. Связь производных в эйлеровых и лагранжевых координатах записывается в виде:

Уравнение (1) таким образом можно записать как систему двух уравнений:

где уравнение (4) – уравнение для характеристик.

Из (5) следует, что , где  некоторая постоянная. Но т.к. , то .

Из (4) получаем

Равенство (6) – решение уравнений характеристик.

Интегральные линии уравнения (4) на мировой плоскости ,, т.е. графики движения частиц при заданной скорости , называются характеристиками уравнения (1).

Пусть при , , т.е.

Подставляя (7) в (2), получим

Для того, чтобы получить решение задачи Коши нужно решить систему двух уравнений:

Подставим уравнение (10) в (9), получим

Выражение (11) является решением задачи Коши для уравнения (1).

Решение (11) представляет собой волну бегущую вправо со скоростью .

Начально-краевая задача для уравнения (1) (смешанная задача)

Рис.4.

На рисунке 4 изображены характеристики уравнения (1), где при  начальное условие, а при  граничное условие,  граничная характеристика.

Для задачи Коши решенной ранее,

Получим решение для граничного решения.

Запишем уравнения (1) в виде

Из (6) следует, что , где .

Учитывая (3) получим .

Интегрируя (7) получаем

Пусть при ,  тогда

Разделим обе части (9) на  получим

При ,

Подставляя (11) в (3) получаем

Тогда решая систему

получаем решение граничной задачи в виде

В (12) .

Решение начально-краевой задачи будет иметь вид

где , единичная функция Хевисайда.

Решение задачи Коши для неоднородного конвекционного уравнения

Построим формулу Даламбера для уравнения

Уравнение (1) – уравнение эволюции локального параметра.

Тогда уравнение (1) запишем в виде системы двух уравнений:

Интегрируя (4), получим

Пусть при , , тогда

Подставим (5) в (3), получим

Исключим в (6)  для этого учтем начальное условие (7).

Подставим (9) в (6), получим

Исключим в (10)  и , потом :

Выражение (11) – формула Даламбера (решение задачи Коши для неоднородного конвекционного уравнения).

Покажем что (11) является решением (1).

Продифференцируем формулу (11) по , получим

Продифференцируем формулу (11) по , получим

Подставляя (13) и (12) в (1), получаем

Откуда получаем тождество: . Следовательно, выражение (11) является решением уравнения (1).

Начально-краевая задача для неоднородного конвективного уравнения

Страницы: 1, 2, 3