Найдем решение граничной задачи для неоднородного конвекционного уравнения (1).

Решение будем искать в виде дифференцируя которое по  , получим

Умножая правую и левую части на , приходим к выражению

Перепишем уравнение (1) в виде двух уравнений:

Из (6) следует, что . Пусть при , , тогда .

Откуда получим

Подставим уравнение (7) в уравнение (5), получим

Исключим в (8)  , для этого учтем граничное условие (9).

Подставим (11) в (8), получим

Исключим в (12) ,  и  получим

Выражение (13) – формула Даламбера (решение граничной задачи для неоднородного конвекционного уравнения (1)).

Покажем, что (13) является решением (1). Для этого продифференцируем формулу (13) по , получим

Продифференцируем формулу (13) по , получим

Умножая (15) на  и складывая с (14), получим, после сокращений, что

то есть, (13) является решением граничной задачи для неоднородного конвекционного уравнения (1).

Решение смешанной задачи запишем, в виде

2.5 Слабые растворы

Рассмотрим термодинамические свойства слабых растворов, т. е. таких растворов, в которых число молекул растворенных веществ значительно меньше числа молекул растворителя. Рассмотрим сначала случай раствора с одним растворенным веществом; обобщение для раствора нескольких веществ можно будет произвести непосредственно [1].

Пусть  – число молекул растворителя в растворе, а – число молекул растворяемого вещества. Концентрацией раствора назовем отношение ; согласно сделанному предложению .

Найдем выражение для термодинамического потенциала раствора. Пусть  есть термодинамический потенциал чистого растворителя (в котором ничего не растворено). Согласно формуле  (справедливой для чистых веществ) его можно написать в виде,

где  – химический потенциал чистого растворителя. Обозначим посредством  малое изменение, которое испытал бы термодинамический потенциал при введении в растворитель одной молекулы растворяемого вещества. В силу предполагаемой слабости раствора молекулы растворенного вещества в нем находятся на сравнительно больших расстояниях друг от друга, и поэтому их взаимодействие слабо. Пренебрегая этим взаимодействием, можно утверждать, что изменение термодинамического потенциала при введении в растворитель  молекул растворяемого вещества равно . Однако в получаемом таким путем выражении еще не учтена должным образом одинаковость всех молекул растворенного вещества. Это есть выражение, которое получилось бы по формуле (2), если бы при вычислении статического интеграла все частицы растворенного вещества считались отличными друг от друга. Вычисленный таким образом статический интеграл должен в действительности еще быть поделен на .

где – элемент объема фазового пространства, деленный на :

         Это приводит к появлению в свободной энергии, а потому и в потенциале  дополнительного члена . Таким образом,

Далее, поскольку – само по себе очень большое число, хотя и малое по сравнению с , в последнем члене можно заменить . Тогда

Учтем теперь, что  должно быть однородной функцией первого порядка по отношению к  и . Для этого, очевидно, стоящая под знаком логарифма функция  должна иметь вид . Таким образом,

Вводя новую функцию от  и :

находим окончательно для термодинамического потенциала раствора выражение

Сделанное в начале этого параграфа предположение относительно прибавления члена вида  к потенциалу чистого растворителя есть в сущности не что иное, как разложение в ряд по степеням  с оставлением только первых членов. Член следующего порядка по пропорционален , а с учетом однородности по переменным  и  должен иметь вид , где  – функция только от  и . Таким образом, с точностью до членов второго порядка термодинамический потенциал слабого раствора имеет вид

Обобщение этого выражения на случай раствора нескольких веществ очевидно:

где – число молекул различных растворенных веществ.

Из (8) легко найти химические потенциалы для растворителя () и растворенного вещества () в растворе:

2.6. Равновесие по отношению к радиактивному веществу веществу

Рассмотрим систему, состоящую из двух соприкасающихся растворов одного и того вещества в различных растворителях (например, в двух несмешивающихся жидкостях). Их концентрации обозначим буквами  и .

Условием равновесия этой системы является равенство химических потенциалов растворенного вещества в обоих растворах. С помощью (12, см. 2.5) это условие можно написать в виде

Функции  и  для различных растворителей, конечно, различны. Отсюда находим

Коэффициент равновесия растворенного вещества между растворами  есть функция только от  и . Таким образом, растворенное вещество распределяется между двумя растворителями так, чтобы отношение концентраций было (при заданных давлении и температуре) всегда одинаково, независимо от полного количества растворенного вещества и растворителей (закон распределения). Этот же закон относится, очевидно, и к растворению одного вещества в двух соприкасающихся фазах одного и того же растворителя.

Далее рассмотрим равновесие между газом (который будем считать идеальным) и его раствором в некотором конденсированном растворителе. Условие равновесия, т.е. равенство химических потенциалов газа чистого и растворенного напишется (с помощью (12) из 2.1.5) в виде

откуда

Функция  характеризует свойство жидкого (или твердого) раствора; однако при небольших давлениях свойства жидкости очень слабо зависят от давления. Поэтому и зависимость  от давления не играет роли, и можно считать, что коэффициент при  в (4) есть постоянная, не зависящая от давления:

Таким образом, при растворении газа концентрация раствора (слабого) пропорциональна давлению(подразумевается, что молекулы газа переходят в раствор в неизменном виде. Если при растворении молекулы распадаются (например, при растворении водорода Н2 в некоторых металлах), то зависимость концентрации от давления получается иной).

2.7. Химический потенциал

Для учета изменения термодинамических функций при изменении количества вещества в системе, необходимо к дифференциалу каждого термодинамического потенциала добавить член , где – число частиц вещества в системе, а  – коэффициент пропорциональности.

В этом случае термодинамические функции будут описывать также и те системы, в которых совершаются процессы с изменением количества вещества.

Например,

отсюда

где – тепловая функция, или энтальпия ().

Так все термодинамические потенциалы имеют размерность энергии, то согласно формуле (2) коэффициент пропорциональности  может быть определен как энергия, отнесенная к одному молю. Этот коэффициент получил название химического потенциала.

Выражение (1) справедливо для системы, состоящей из однородных молекул. Если же система состоит из разнородных веществ, последний член в формуле (1) надо представить в виде суммы

Здесь

характеризует изменение энергии при изменении количества данного компонента вещества в системе на один моль.

Понятно, что химический потенциал можно определить, исходя не только из выражения тепловой функции (2), но и из выражения любой другой термодинамической функции. При этом по определению

Таким образом, химический потенциал характеризует изменение энергии при изменении количества вещества в системе на один моль.

3. Разработка теории радиогеохимического эффекта

В данной главе сформулированы общие предположения теории радиогеохимического эффекта, приведена его математическая модель. Здесь решается задачи для нахождения результирующей плотности радиоактивных веществ в пористой среде, которые иллюстрируются на графиках. Определяются величина этого эффекта и условие его возникновения.

3.1. Общие предположения теории

В данной работе предпринята попытка исследования особенностей формирования радиогеохимического эффекта на основе концепции, согласно которой диффузия радиоактивных веществ определяется химическим потенциалом и изучения новых возможностей практического использования этого эффекта.

 В основу теории положено следующие общенаучные предположения:

– диффузия растворенного вещества пропорциональна градиенту химического потенциала

где – коэффициент диффузии химического потенциала,

  – вектор плотности потока диффундирующих радиоактивных компонентов,

в частности поток радиоактивных примесей между скелетом и насыщающим флюидом определяется ньютоновским законом для химического потенциала

– плотность растворенных изотопов предполагается малой в сравнении с плотностью несущей фазы, которая не изменяется в процессе фильтрации. Перенос растворенных изотопов определяется скоростью фильтрации несущей фазы. Динамика растворенного вещества определяется уравнением неразрывности, следующим из закона сохранения массы

соответственно для плотности радиоактивных веществ в скелете ρs имеет место следующее уравнение

Диффузией радиоактивных примесей, кроме массообмена жидкости со скелетом, в уравнениях (3) и (4) пренебрегается;

–для несущей жидкости, предполагаемой несжимаемой, соответствующее уравнение неразрывности предполагается квазистационарным

– период полураспада предполагается настолько большим, что за все время процесса вытеснения не происходит заметного изменения плотности радиоактивных примесей за счет радиоактивного распада. Это позволяет пренебречь соответствующими источниками в уравнениях неразрывности и упростить задачу.

Для простоты также предполагается поршневой режим вытеснения водой нефти. Основные закономерности радиогеохимического эффекта без ограничения общности осуществлены на основе плоского одномерного течения, которое хорошо применимо в пластах на больших расстояниях от нагнетательной скважины, т. е. в зоне расположения добывающих скважин, где обычно указанный эффект и регистрируется. Естественным предполагается и пренебрежение диффузионным массообменом пласта с покрывающими и подстилающими породами.

Заметим, что в предполагаемом подходе к скелету отнесена реликтовая вода и другие составляющие, не подвижные в процессе вытеснения, поэтому плотность радиоактивного вещества в скелете включает и содержание радиоактивных веществ в указанных компонентах, что впрочем, улучшает условия применимости разработанной теории.

3.2. Математические модели радиогеохимического эффекта

Математическая постановка задачи в указанных выше предположениях в одномерном случае включает уравнение для радиоактивных примесей в несущей жидкости

и в скелете пористой среды

где  – пористость,

Складывая (3.6) в (3.7), получим идентичные уравнения для плотности радиоактивного вещества в жидкости

и скелете пористой среды

где скорость конвективного переноса примесей  определяется выражением

Так как химический потенциал является функцией от концентрации, то разложим его в ряд Тейлора вблизи точки равновесия растворенного вещества

Предполагается, что в равновесии химические потенциалы радиоактивных веществ равны . Пренебрегая в (3.13) слагаемыми порядка выше первого, получаем

где .

Для простоты считаем, что процесс фильтрации равновесный, так что концентрации радиоактивных веществ в жидкости и скелете пористой среды определяются из условия равенства химических потенциалов

Такое же условие и для нефти в скелете .

3.1.1. Постановка задачи

Исследование динамики примесей при поршневом вытеснении нефти водой из пористой среды приводит к краевым задачам математической физики. В общем случае разработка данной теории требует совместного рассмотрения уравнений (3.10) и (3.11) с краевыми условиями. Однако плотности в скелете  и насыщающей жидкости  связаны равенством . Это соотношение позволяет отыскивать решение только одного из уравнений, поскольку второе решение находится умножением или делением на . Можно показать, что найденное таким образом второе решение будет удовлетворять соответствующему дифференциальному уравнению в частных производных.

Краевые условия задачи определяются из очевидных соображений.

Требуется найти решение уравнения для жидкости

в виде функции , удовлетворяющие граничным условиям, в подобласти . Предполагается, что на левом конце стержня поддерживается постоянная концентрация радиоактивного вещества , поэтому для подобласти  граничное условие имеет вид

 Требуется найти решение уравнения для скелета

в виде функции , удовлетворяющие граничным условиям, в подобласти .

В подобласти  на правой подвижной границе поддерживается неизменной плотность радиоактивного вещества в скелете, поэтому граничное условие для уравнения скелета имеет вид

Это условие определяет перенос радиоактивных веществ из нефтенасыщеной зоны пористой среды в водонасыщенную.

3.1.2 Решение задач

Найдем решение уравнения (3.16) в более общем виде. То есть для уравнения

с граничным условием

для области

Решение уравнений (3.16) находится методом характеристик.

Интегрируя первое уравнение системы (16), получаем

Из второго уравнения следует, что , где – некоторая постоянная. Но т.к., то .

Найдем границы области в котором есть решение.

Пусть при , тогда

Для начального момента, при  и

Уравнение (3.23) представляет собой границу.

Параметризуем уравнение (3.22).

Зададим  так, чтобы получить значение при , т. е. .

При ,  

Подставляя значение параметра в (15) получим

Так как , то

Таким образом это выражение (3.27) есть решение уравнения (3.16) в более общем виде.

Для частного случая, т. е.  не зависит от , решение

Полученное решение (8) для плотности радиоактивного вещества в вытесняющей жидкости, удовлетворяет граничному условию для жидкости в подобласти .

Решение для плотности радиоактивного вещества в скелете в той же области получим из условия равенства химических потенциалов

Таким же образом, в более общем виде решим уравнение для скелета

с граничным условием

для области .

Интегрируя первое уравнение (3.32), получаем

Из второго уравнения следует, что , где – некоторая постоянная. Но т.к., то .

Параметризуем уравнение (3.33): при , . Тогда

Так как

Подставим значение параметра (3.34) в граничное условие для скелета пористой среды

То теперь

Выражение (3.35) есть решение уравнения для скелета (3.30) в общем виде. Частное решение получаем из (3.35) исключая .

Полученное решение (3.36) для плотности радиоактивного вещества в скелете, удовлетворяет граничному условию подобласти .

Используя соотношение (3.15) находим решение для плотности радиоактивного вещества в вытесняющей жидкости подобласти  получим из условия равенства химических потенциалов

Проверка значений на границах подобласти

При ,  на правой границе

при  и  на левой границе

Окончательное выражение для плотности радиоактивного вещества в вытесняющей жидкости имеет вид:

и для плотности радиоактивного вещества в скелете в той же области получим

Для области , занимаемой вытесняемой нефтью плотности радиоактивного вещества в скелете и нефти остаются неизменными:

Результирующая плотность радиоактивных веществ в пористой среде ρ+ складывается из плотности в насыщающей жидкости, скелете и нефти, поэтому окончательное выражение имеет вид

3.3. Рельзультаты расчетов и их анализ

3.3.1. График модели

На рисунке приведена зависимость относительной плотности радиоактивного вещества  от координаты  в фиксированный момент времени. В расчетах принято: =0.2, μ΄/μs΄=0.05, μo΄/μw΄=10, ρs0/ρw0=5. Сплошной линией изображен график зависимости относительной результирующей плотности радиоактивных веществ, а пунктирной ‑ их плотность в скелете.

Из рисунка видно, что в области  образуется зона II с повышенным содержанием радиоактивных веществ. Отметим, что на границах зон наблюдается скачкообразное изменение плотности радиоактивного вещества. В реальных условиях эти скачки нивелируются диффузией, которая в рассматриваемом случае для простоты не учитывается.

Из анализа кривых, приведенных на рисунке, следует, что возникновение зоны с повышенной радиоактивностью объясняется вымыванием радиоактивных веществ, первоначально сосредоточенных в скелете, водой.

Из изложенного выше следует, что область радиогеохимического эффекта представляет зону обратного массового влияния вытесняемой жидкости на вытесняющую. Это происходит за счет взаимодействия жидкостей через скелет. Дело состоит в том, что скорость движения границы вытеснения  превышает скорость конвективного переноса примесей в пористой среде , с которой только и возможно движение разрывов. В результате размеры области радиогеохимического эффекта увеличиваются со временем со скоростью , которая, как показывают оценки, в несколько раз превышает скорость . Процессы, аналогичные описываемым, происходят при формировании черенковского излучения.

В реальных условиях возможность измерения распределения радиоактивности в пласте ограничена только определенным числом скважин, в области расположения которых происходит обводнение пласта. В этих скважинах возможно измерение зависимости радиоактивности от времени. Отметим, что наблюдаемая при этом временна̀я развертка радиоактивности соответствует пространственной, изображенной на рисунке.

3.3.2 Условие возникновения радиогеохимического эффекта

Условие возникновения радиогеохимического эффекта заключается в повышении радиоактивного фона, математическим выражением которого является неравенство , откуда с использованием (20) получим

После соответствующих преобразований получим

Неравенство (3.45) определяет соотношение производных химического потенциала, при котором наблюдается радиогеохимический эффект. В условие (3.45) не входит пористость, это означает, что радиогеохимический эффект должен наблюдаться в пластах с любой пористостью. Отметим, однако, что величина эффекта согласно предлагаемой теории пропорциональна пористости

где  – коэффициент, зависящий от выбора единиц измерения.

Заключение

Таким образом, предложенная теория в достаточной мере отражает механизм перекачки радиоактивных веществ и образование зоны радиогеохимического эффекта. Полученные результаты могут быть использованы при интерпретации результатов геолого-промысловых исследований для определения принимающих и отдающих интервалов пластов. Они позволяют также более глубоко понять процессы, происходящие с растворенными веществами при движении пресных питьевых вод в подземных пластах.

Литература

1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. – М.: Наука. – 1986. – 773 с.

2. Орлинский Б.М. Котроль за разработкой нефтяных месторождений. – М.:Недра, 1982.

3. Хуснуллин М.Х. Геофизические методы контроля разработки нефтяных пластов. –М: Недра, 1989.

4. Валиуллин Р.А., Шарафутдинов Р.Ф., Азизов Ф.Ф., Никифоров А.А., Зелеев М.Х. Исследование закономерностей формирования радиогеохимического эффекта в пласте//Изв. ВУЗов. Нефть и газ. №3, 2000. С 26-31.

5. Советский энциклопедический словарь. – М.: «Советская энциклопедия», 1985. Под ред. Прохорова А.М.

Страницы: 1, 2, 3