Рис. 1.3 - Однородный поток событий

Поток событий называется регулярным, если события следуют одно за другим через строго определенные про­межутки времени. Такие потоки редко встречаются в реальных системах, для которых типичным является именно случайность моментов поступления требований. Рассмотрим случайный входящий поток, обладающий особенно простыми свойствами.

Введем ряд определений:

1. Поток событий называется стационарным, если ве­роятность поступления заданного числа событий в тече­ние интервала  времени  фиксированной длины зависит только от продолжительности этого интервала, но не за­висит от его расположения на временной оси.

2.  Поток событий называется ординарным, если ве­роятность появления двух или более событий в течение элементарного    интервала    времени    есть    величина бесконечно малая по сравнению с вероятностью появле­ния одного события на этом интервале.

3.  Поток событий называется потоком без последей­ствия, если для любых не перекрывающихся интервалов времени число событий, попадающих на один из них, не зависит от числа событий, попадающих на другие.

Если поток событий удовлетворяет всем трем пере­численным условиям (т. с. он стационарен, ординарен и не имеет последействия), то он называется простейшим потоком. Для простейшего потока число событий, попа­дающих па любой фиксированный интервал времени, распределено по закону Пуассона, поэтому его иначе на­зывают стационарным пуассоновским.

Условию стационарности удовлетворяет поток зая­вок, вероятностные характеристики которого не зависят от времени. В частности, постоянной является плотность потока — среднее число заявок в единицу времени. За­метим, что свойство стационарности выполняется, по крайней мере на ограниченном отрезке времени, для многих реальных процессов.

Условие ординарности означает, что заявки поступа­ют в систему поодиночке, а не парами, тройками и т. д. Например, поток обстрелов, которому подвергается воз­душная цель в зоне действия комплекса ЗРВ, является ординарным, если стрельба ведется одиночными ракета­ми, и не является ординарным, если стрельба идет одно­временно двумя или тремя ракетами.

Условие отсутствия последействия является наиболее существенным для простейшего потока. Выполнение это­го условия означает, что заявки поступают в систему независимо друг от друга. Например, можно сказать, что последействие отсутствует для потока пассажиров, входящих в метро, так как отсутствует зависимость между причинами, вызвавшими приход каждого из пас­сажиров на станцию. Но как только эта зависимость появляется, условие отсутствия последействия нару­шается. Например, поток пассажиров, покидающих станцию метро, уже не обладает свойством последейст­вия, так как моменты выхода для пассажиров, прибывших на станцию одним и тем же поездом, зависимы между собой.

Вообще следует заметить, что выходящие потоки заявок, покидающих систему обслуживания, обычно имеют последействие, даже если входящий поток его не имеет. В этом легко убедиться на примере рассмотрения выходящего потока для одноканальной системы массо­вого обслуживания с фиксированным временем обслу­живания . Выходящий поток такой системы обладает тем свойством, что минимальный интервал между после­довательными обслуженными заявками будет равен . При этом, если в некоторый момент  систему покинула заявка, то можно утверждать, что на интервале  обслуженных заявок больше не появится и, та­ким образом, имеется зависимость между числом собы­тий на не перекрывающихся интервалах.

Отметим, что, если на систему обслуживания посту­пает самый простой, на первый взгляд, регулярный по­ток, анализ процессов функционирования системы явля­ется существенно более сложным, чем, например, при поступлении простейшего потока, именно вследствие же­сткой функциональной зависимости, которая имеет ме­сто для заявок регулярного потока.

В дальнейшем будет рассматриваться только про­стейший входящий поток в силу особой его роли в тео­рии массового обслуживания.

Дело в том, что простейшие или близкие к простей­шим потоки заявок часто встречаются на практике. Кро­ме   того, при анализе систем обслуживания во многих случаях можно получить    вполне    удовлетворительные результаты, заменяя входящий поток любой структуры простейшим    с той же плотностью.    Наконец,   важное свойство простейшего потока состоит   в том,    что при суммировании большого числа ординарных, стационар­ных потоков с практически любым последействием по­лучается поток, сколь угодно близкий к простейшему. Условия, которые должны при этом соблюдаться, аналогичны условиям центральной предельной теоремы: скла­дываемые потоки должны оказывать на сумму равно­мерно малое влияние.

Получим аналитическое описание простейшего потока и рассмотрим его свойства подробнее.

Рис. 1.4 - Простейший поток событий

Рассмотрим на оси  простейший поток событий (рис. 1.4) как неограниченную последовательность слу­чайных точек. Выделим произвольный интервал времени длиной . Как уже отмечалось, если поток событий является простейшим, то число событий, попадающих на интервал т, распределено по закону Пуассона с матема­тическим ожиданием

                                                                                                        (1.18)

где - плотность потока.

В соответствии с законом Пуассона вероятность того, что за время  произойдет ровно т событий, равна

                                                        (1.19)

Тогда вероятность того, что не произойдет ни одного события, будет

                                                                                                     (1.20)

Отсюда вероятность того, что за время  произойдет хотя бы одно событие, равна

                                                                                     (1.21)

Важной характеристикой потока является закон распределения длин интервалов между событиями. Пусть  - случайная длина интервала времени между двумя произвольными соседними событиями в простейшем по­токе (рис. 1.4) и  - искомый закон рас­пределения продолжительности временного интервала между последовательными событиями. С другой сторо­ны, вероятность  может быть интерпретирована как вероятность появления хотя бы одного события в те­чение временного интервала продолжительностью t, начинающегося в момент поступления в систему некото­рого события.

Поскольку простейший поток не обладает последей­ствием, наличие события в начале интервала t не оказы­вает никакого влияния на вероятность появления собы­тий в дальнейшем. Поэтому вероятность  может быть вычислена по формуле

                                                                       (1.22)

откуда, имея в виду (1.20),

                                                                           (1.23)

Дифференцируя (1.23), находим плотность распреде­ления длин интервалов между последовательными со­бытиями

                                                                         (1.24)

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17