Ñóùåñòâîâàíèå ìàòåìàòè÷åñêèõ îáúåêòîâ ïðèçíàâàëîñü  çàäîëãî  äî Àðèñòîòåëÿ, îäíàêî ïèôàãîðåéöû,  íàïðèìåð, ïðåäïîëàãàëè, ÷òî îíè íà­õîäÿòñÿ â ÷óâñòâåííûõ âåùàõ,  ïëàòîíèêè æå, íàîáîðîò, ñ÷èòàëè èõ ñó­ùåñòâóþùèìè îòäåëüíî. Ñîãëàñíî Àðèñòîòåëþ:

1.  ÷óâñòâåííûõ âåùàõ ìàòåìàòè÷åñêèå  îáúåêòû  íå  ñóùåñòâóþò, òàê êàê “íàõîäèòüñÿ â òîì æå ñàìîì ìåñòå äâà òåëà íå â ñîñòîÿíèè”;

2. “Íåâîçìîæíî è òî,  ÷òîáû òàêèå ðåàëüíîñòè ñóùåñòâîâàëè  îáîñîáëåííî”.

Àðèñòîòåëü ñ÷èòàë ïðåäìåòîì ìàòåìàòèêè “êîëè÷åñòâåííóþ  îïðåäå­ëåííîñòü è  íåïðåðûâíîñòü”.   åãî òðàêòîâêå “êîëè÷åñòâîì íàçûâàåòñÿ òî, ÷òî ìîæåò áûòü ðàçäåëåíî íà ñîñòàâíûå  ÷àñòè,  êàæäàÿ  èç  êîòî­ðûõ ...ÿâëÿåòñÿ ÷åì-òî îäíèì, äàííûì íàëèöî. Òî èëè äðóãîå êîëè÷åñò­âî åñòü ìíîæåñòâî,  åñëè åãî ìîæíî ñ÷åñòü,  ýòî âåëè÷èíà,  åñëè  åãî ìîæíî èçìåðèòü”.  Ìíîæåñòâîì ïðè ýòîì íàçûâàåòñÿ òî,  “÷òî â âîçìîæ­íîñòè (ïîòåíöèàëüíî) äåëèòñÿ íà ÷àñòè íå  íåïðåðûâíûå,  âåëè÷èíîþ  ­òî, ÷òî  äåëèòñÿ íà ÷àñòè íåïðåðûâíûå”.  Ïðåæäå ÷åì äàòü îïðåäåëåíèå íåïðåðûâíîñòè, Àðèñòîòåëü ðàññìàòðèâàåò  ïîíÿòèå  áåñêîíå÷íîãî,  òàê êàê “îíî îòíîñèòñÿ ê êàòåãîðèè êîëè÷åñòâà” è ïðîÿâëÿåòñÿ ïðåæäå âñå­ãî â íåïðåðûâíîì.  “×òî áåñêîíå÷íîå ñóùåñòâóåò,  óâåðåííîñòü â  ýòîì âîçíèêàåò ó  èññëåäîâàòåëåé  èç ïÿòè îñíîâàíèé:  èç âðåìåíè (èáî îíî áåñêîíå÷íî); èç ðàçäåëåíèÿ âåëè÷èí..; äàëåå, òîëüêî òàêèì îáðàçîì íå èññÿêíóò âîçíèêíîâåíèå è óíè÷òîæåíèå, åñëè áóäåò áåñêîíå÷íîå, îòêóäà áåðåòñÿ âîçíèêàþùåå. 

Äàëåå, èç òîãî, ÷òî êîíå÷íîå âñåãäà ãðàíè÷èò ñ ÷åì-íèáóäü, òàê  êàê íåîáõîäèìî,  ÷òîáû îäíî âñåãäà ãðàíè÷èëî ñ äðó­ãèì. Íî áîëüøå âñåãî -...íà òîì îñíîâàíèè,  ÷òî ìûøëåíèå íå îñòàíàâ­ëèâàåòñÿ: è  ÷èñëî êàæåòñÿ áåñêîíå÷íûì,  è ìàòåìàòè÷åñêèå âåëè÷èíû”. Ñóùåñòâóåò ëè áåñêîíå÷íîå êàê îòäåëüíàÿ ñóùíîñòü  èëè  îíî  ÿâëÿåòñÿ àêöèäåíöèåé âåëè÷èíû èëè ìíîæåñòâà?  Àðèñòîòåëü ïðèíèìàåò âòîðîé âà­ðèàíò, òàê êàê “åñëè áåñêîíå÷íîå íå åñòü íè âåëè÷èíà,  íè ìíîæåñòâî, à ñàìî ÿâëÿåòñÿ ñóùíîñòüþ..., òî îíî áóäåò íåäåëèìî, òàê êàê äåëèìîå áóäåò èëè âåëè÷èíîé,  èëè ìíîæåñòâîì.  Åñëè æå îíî íå äåëèìî, îíî íå áåñêîíå÷íî â ñìûñëå íåïðîõîäèìîãî äî êîíöà”. Íåâîçìîæíîñòü ìàòåìàòè­÷åñêîãî áåñêîíå÷íîãî êàê íåäåëèìîãî ñëåäóåò èç òîãî,  ÷òî  ìàòåìàòè­÷åñêèé îáúåêò - îòâëå÷åíèå îò ôèçè÷åñêîãî òåëà, à “àêòóàëüíî íåäåëè­ìîå áåñêîíå÷íîå òåëî íå ñóùåñòâóåò”. ×èñëî “êàê ÷òî-òî îòäåëüíîå è â òî æå  âðåìÿ áåñêîíå÷íîå” íå ñóùåñòâóåò,  âåäü “...åñëè âîçìîæíî ïå­ðåñ÷èòàòü ñ÷èñëèìîå,  òî áóäåò âîçìîæíîñòü ïðîéòè äî êîíöà è  áåñêî­íå÷íîå”. Òàêèì  îáðàçîì,  áåñêîíå÷íîñòü çäåñü â ïîòåíöèè ñóùåñòâóåò, àêòóàëüíî æå - íåò.

Îïèðàÿñü íà èçëîæåííîå âûøå ïîíèìàíèå áåñêîíå÷íîãî,  Àðèñòîòåëü îïðåäåëÿåò íåïðåðûâíîñòü è ïðåðûâíîñòü.  Òàê, “íåïðåðûâíîå åñòü ñàìî ïî ñåáå íå÷òî ñìåæíîå. Ñìåæíîå åñòü òî, ÷òî, ñëåäóÿ çà äðóãèì, êàñà­åòñÿ åãî”. ×èñëî êàê òèïè÷íî ïðåðûâíîå (äèñêðåòíîå) îáðàçîâàíèå ôîð­ìèðóåòñÿ ñîåäèíåíèåì äèñêðåòíûõ, äàëåå íåäåëèìûõ ýëåìåíòîâ - åäèíèö. Ãåîìåòðè÷åñêèì àíàëîãîì åäèíèöû ÿâëÿåòñÿ òî÷êà;  ïðè ýòîì ñîåäèíåíèå òî÷åê íå ìîæåò îáðàçîâàòü ëèíèþ, òàê êàê “òî÷êàì, èç êîòîðûõ áûëî áû ñîñòàâëåíî íåïðåðûâíîå,  íåîáõîäèìî èëè áûòü íåïðåðûâíûìè,  èëè  êà­ñàòüñÿ äðóã äðóãà”.  Íî íåïðåðûâíûìè îíè íå áóäóò:  “âåäü êðàÿ òî÷åê íå îáðàçóþò ÷åãî-íèáóäü åäèíîãî,  òàê êàê ó íåäåëèìîãî íåò íè  êðàÿ, íè äðóãîé  ÷àñòè”.  Òî÷êè íå ìîãóò è êàñàòüñÿ äðóã äðóãà,  ïîñêîëüêó êàñàþòñÿ “âñå ïðåäìåòû èëè êàê öåëîå öåëîãî, èëè ñâîèìè ÷àñòÿìè, èëè êàê öåëîå ÷àñòè. Íî òàê êàê íåäåëèìîå íå èìååò ÷àñòåé, èì íåîáõîäèìî êàñàòüñÿ öåëèêîì, íî êàñàþùååñÿ öåëèêîì íå îáðàçóåò íåïðåðûâíîãî”.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32